Question

已知關(guān)于x的方程x²-（2k+1）x+4（k-

1

2

）=0．
（1）求證：無論k取什么實數(shù)值，這個方程總有實數(shù)根；
（2）能否找到一個實數(shù)k，使方程的兩實數(shù)根互為相反數(shù)？若能找到，求出k的值；若不能，請說明理由．
（3）當(dāng)?shù)妊�三角形ABC的邊長a=4，另兩邊的長b、c恰好是這個方程的兩根時，求△ABC的周長．

Answer 1

分析：（1）整理根的判別式，得到它是非負(fù)數(shù)即可．
（2）兩實數(shù)根互為相反數(shù)，讓-

b

a

=0即可求得k的值．
（3）分b=c，b=a兩種情況做．

解答：證明：（1）∵△=（2k-3）²≥0，
∴方程總有實根；
解：（2）∵兩實數(shù)根互為相反數(shù)，
∴x₁+x₂=2k+1=0，
解得k=-0.5；
（3）①當(dāng)b=c時，則△=0，
即（2k-3）²=0，
∴k=

3

2

，
方程可化為x²-4x+4=0，
∴x₁=x₂=2，
而b=c=2，
∴b+c=4=a不適合題意舍去；
②當(dāng)b=a=4，則4²-4（2k+1）+4（k-

1

2

）=0，
∴k=

5

2

，
方程化為x²-6x+8=0，
解得x₁=4，x₂=2，
∴c=2，
C_△ABC=10，
當(dāng)c=a=4時，同理得b=2，
∴C_△ABC=10，
綜上所述，△ABC的周長為10．

點(diǎn)評：一元二次方程總有實數(shù)根應(yīng)根據(jù)判別式來做，兩根互為相反數(shù)應(yīng)根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系做，等腰三角形的周長應(yīng)注意兩種情況，以及兩種情況的取舍．