Question

如圖，已知直線y=kx-6與拋物線y=ax²+bx+c相交于A，B兩點(diǎn)，且點(diǎn)A（1，-4）為拋物線的頂點(diǎn)，點(diǎn)B在x軸上．
（1）求拋物線的解析式；
（2）在（1）中拋物線的第二象限圖象上是否存在一點(diǎn)P，使△POB與△POC全等？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由；
（3）若點(diǎn)Q是y軸上一點(diǎn)，且△ABQ為直角三角形，求點(diǎn)Q的坐標(biāo)．

Answer 1

解：（1）把A（1，-4）代入y=kx-6，得k=2，∴y=2x-6，∴B（3，0）．
∵A為頂點(diǎn)，∴設(shè)拋物線的解析為y=a(x-1)²-4，解得a=1，∴y=(x-1)²-4=x²-2x-3  （4分）
（2）存在．∵OB=OC=3，OP=OP，∴當(dāng)∠POB=∠POC時(shí)，△POB≌△POC，
此時(shí)PO平分第三象限，即PO的解析式為y=-x．
設(shè)P（m，-m），則-m=m²-2m-3，解得m=（m=>0，舍），
∴P（，）．                                            
（3）①如圖，當(dāng)∠Q₁AB=90°時(shí)，△DAQ₁∽△DOB，∴，即，∴DQ₁=，
∴OQ₁=，即Q₁（0，）；
②如圖，當(dāng)∠Q₂BA=90°時(shí)，△BOQ₂∽△DOB，
∴，即，
∴OQ₂=，即Q₂（0，）；
③如圖，當(dāng)∠AQ₃B=90°時(shí)，作AE⊥y軸于E，
則△BOQ₃∽△Q₃EA，
∴，即，
∴OQ₃²-4OQ₃+3=0，∴OQ₃=1或3，
即Q₃（0，-1），Q₄（0，-3）．
綜上，Q點(diǎn)坐標(biāo)為（0，）或（0，）或（0，-1）或（0，-3）．        

解析