Question

如圖（1），AB、CD是兩條線段，M是AB的中點(diǎn)，S_△DMC、S_△DAC和S_△DBC分別

表示△DMC、△DAC、△DBC的面積．當(dāng)AB∥CD時(shí)，有

S_△DMC＝           ①

（1）如圖（2），若圖（1）中AB∥CD時(shí)，①式是否成立？請(qǐng)說明理由．

（2）如圖（3），若圖（1）中AB與CD相交于點(diǎn)O時(shí)，S_△DMC與S_△DAC和S_△DBC有何種相等關(guān)系？證明你的結(jié)論．

圖（1）          圖（2）           圖（3）

Answer 1

【答案】（1）當(dāng)AB∥CD時(shí)，①式仍成立．

分別過A、M、B作CD的垂線，AE、MN、BF的垂足分別為E、N、F．

∵  M為AB的中點(diǎn)，

∴  MN＝（AE＋BF）．

∴  S_△DAC＋S_△DBC＝DC·AE＋DC·BF＝DC·（AE＋BF）＝2 S_△DMC．

∴  S_△DMC＝

（2）對(duì)于圖（3）有S_△DMC＝．

證法一：∵  M是AB的中點(diǎn)，S_△ADM＝S_△BDM，S_△ACM＝S_△BCM，

S_△DBC＝S_△BDM＋S_△BCM＋S_△DMC，                    ①

S_△DAC＝S_△ADM＋S_△ACM－S_△DMC                     ②

①－②得：S_△DBC－S_△DAC＝2 S_△DMC

∴  S_△DMC＝．

證法二：如右圖，過A作CD的平行線l，MN⊥l，垂足為N，BE⊥l，垂足為E．設(shè)A、M、B到CD的距離分別h₁、h₀、h₂．則MN＝h₁＋h₀，BE＝h₂＋h₁．

∵  AM＝BM，

∴  BE＝2 MN．

∴  h₂＋h₁＝2（h₁＋h₀），

∴  h₀＝．

∴  S_△DMC＝．