Question

已知正方形ABCD的邊長AB=k（k是正整數(shù)），等邊三角形PAE的頂點(diǎn)P在正方形內(nèi)，頂點(diǎn)E在邊AB上，且AE=1．將等邊三角形PAE在正方形內(nèi)按如圖中所示的方式，沿著正方形的邊AB、BC、CD、DA、AB、…連續(xù)地翻轉(zhuǎn)n次，使頂點(diǎn)P第一次回到原來的起始位置．
①如果k=1，那么頂點(diǎn)P第一次回到原來的起始位置時(shí)，△PAE沿正方形的邊連續(xù)翻轉(zhuǎn)的次數(shù)n=

12

；
②如果頂點(diǎn)P第一次回到原來的起始位置時(shí)，等邊三角形PAE沿正方形的邊連續(xù)翻轉(zhuǎn)的次數(shù)是84，那么正方形ABCD的邊長k=

7或21

．

Answer 1

分析：（1）正△PAE的頂點(diǎn)P在正方形內(nèi)按圖1中所示的方式連續(xù)地翻轉(zhuǎn)，頂點(diǎn)P第一次回到原來的起始位置，實(shí)際上正方形周長和與三角形的周長和相等，正方形的周長=4k，三角形的周長=3，即找4k，3的最小公倍數(shù)，由此求出k=1，2，3時(shí)n的值；故當(dāng)k是3的倍數(shù)時(shí)，n=4k；當(dāng)k不是3的倍數(shù)時(shí)，n=12k．
（2）根據(jù)當(dāng)k是3的倍數(shù)時(shí)，n=4k；當(dāng)k不是3的倍數(shù)時(shí)，n=12k即可求得k的值．

解答：解：正△PAE的頂點(diǎn)P在正方形內(nèi)按圖1中所示的方式連續(xù)地翻轉(zhuǎn)，頂點(diǎn)P第一次回到原來的起始位置，實(shí)際上正方形周長和與三角形的周長和相等，正方形的周長=4k，三角形的周長=3，即找4k，3的最小公倍數(shù)；
（1）當(dāng)k=1時(shí)，4k，3的最小公倍數(shù)是12，故n=12；
（2）當(dāng)k不是3的倍數(shù)時(shí)，84=12×7，則k=7；
當(dāng)k是3的倍數(shù)時(shí)：84=4×21，則k=21．

點(diǎn)評：本題考查了等邊三角形在正方形中的翻轉(zhuǎn)中周長的最小公倍數(shù)問題，注意找到等量關(guān)系．