Question

如圖所示，⊙O半徑為2，弦BD=2，A為弧BD的中點，E為弦AC的中點，且在BD上，求四邊形ABCD的面積．

Answer 1

解：連接OA交BD于點F，連接OB，
∵OA在直徑上且點A是弧BD中點，
∴OA⊥BD，BF=DF=
在Rt△BOF中
由勾股定理得OF²=OB²-BF²
OF==1
∵OA=2
∴AF=1
∴S_△ABD==
∵點E是AC中點
∴AE=CE
又∵△ADE和△CDE同高
∴S_△CDE=S_△ADE
∵AE=EC，
∴S_△CBE=S_△ABE．
∴S_△BCD=S_△CDE+S_△CBE=S_△ADE+S_△ABE=S_△ABD=
∴S_{四邊形ABCD}=S_△ABD+S_△BCD=2．
分析：由A是弧BD的中點，根據(jù)垂徑定理，可知OF⊥BD，且BF=DF=BD=，在Rt△BOF中，利用勾股定理，可求出OF=1，即AF=1，那么，S_△ABD=×BD×AF=，而E是AC中點，會出現(xiàn)等底同高的三角形，因而有S_四邊形=2S_△ABD=2．
點評：本題利用了垂徑定理、勾股定理，還有等底同高的三角形面積相等等知識．