Question

在直角坐標(biāo)系xOy中：
（1）畫出一次函數(shù)y=x+的圖象，記作直線a，a與x軸的交點(diǎn)為C；
（2）畫出△ABC，使BC在x軸上，點(diǎn)A在直線a上（點(diǎn)A在第一象限），且BC=2，∠ABC=120°；
（3）寫出點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)；
（4）將△ABC繞點(diǎn)B在直角坐標(biāo)平面內(nèi)旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)A落在x軸上，求此時(shí)過點(diǎn)A、B、C的拋物線的解析式．

Answer 1

解：（1）令x=0，則y=，令y=0，則x=-1，則函數(shù)圖象與兩坐標(biāo)軸的交點(diǎn)分別為（0，），（-1，0）

（2）因?yàn)镃在x軸上，且∠ABC=120°，
所以B點(diǎn)坐標(biāo)為（1，0），在直線y=x+的圖象上取點(diǎn)A，使∠ABC=120°即可．

（3）設(shè)A（x，y），則y=x+，過A作AD⊥x軸，
則CD=x-1，∠ACD=180°-∠ABC=180°-120°=60°，
所以AD=CD•tan60°=（x-1），
即（x-1）=x+，
解得x=3，y=×3+=2．
由（2）（3）可知A、B、C三點(diǎn)的坐標(biāo)分別為：A（3，2），B（-1，0），C（-1，0）．

（4）設(shè)三角形旋轉(zhuǎn)以后的圖形為△A′B′C，
根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知A′C=AC，B′C=BC，
此時(shí)AC旋轉(zhuǎn)的角度為∠ACD=60°，
同理，B也旋轉(zhuǎn)了60°，即∠ACA′=∠BCB′=60°，A′C=AC==4，
故A點(diǎn)坐標(biāo)為（5，0），同理可得B′C=BC==2，
過B′作B′E⊥x軸，根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義可知
EC=1，
故E與原點(diǎn)重合．
此時(shí)B′點(diǎn)坐標(biāo)為（0，）
設(shè)此時(shí)過點(diǎn)A、B、C的拋物線的解析式為：
y=ax²+bx+c，
把A′，B′，C三點(diǎn)坐標(biāo)分別代入得，，
解得：，
故此函數(shù)的解析式為y=x²-x+．
分析：（1）分別令x=0，y=0找出直線與兩坐標(biāo)軸的交點(diǎn)即可畫出一次函數(shù)y=x+的圖象．
（2）在x軸上找點(diǎn)C，使BC=2，根據(jù)∠ABC=120°可知，C在B的右側(cè)，且B點(diǎn)坐標(biāo)為（1，0），在直線y=x+的圖象上取點(diǎn)A，使∠ABC=120°即可．
（3）過A作AD⊥x軸，根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義即可求出P點(diǎn)的坐標(biāo)．
（4）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)當(dāng)A落到x軸上時(shí)，設(shè)此點(diǎn)為A′則AA′=AC，此時(shí)AC旋轉(zhuǎn)的角度為∠ACD=60°，同理，B也旋轉(zhuǎn)了60°，BC=B′C，過B′作B′E⊥x軸，根據(jù)銳角三角函數(shù)值的定義可知B′此時(shí)正好落在y軸上，根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式可求出B′、A′的坐標(biāo)，再用待定系數(shù)法即可求出過點(diǎn)A、B、C的拋物線的解析式．
點(diǎn)評：此題比較復(fù)雜，涉及到一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征及銳角三角函數(shù)值的定義．