Question

如圖，在△ABC中，∠ACB=90°AC=BC=6cm，正方形DEFG的邊長為2cm，其一邊EF在BC所在的直線L上，開始時點F與點C重合，讓正方形DEFG沿直線L向右以每秒1cm的速度作勻速運動，最后點E與點B重合．
（1）請直接寫出該正方形運動6秒時與△ABC重疊部分面積的大��；
（2）設(shè)運動時間為x（秒），運動過程中正方形DEFG與△ABC重疊部分的面積為y（cm²）．
①在該正方形運動6秒后至運動停止前這段時間內(nèi)，求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；
②在該正方形整個運動過程中，求當(dāng)x為何值時，y=．

Answer 1

【答案】分析：（1）運動6秒時，AB正好與正方形的對角線重合（F與B重合），那么重疊的面積正好是正方形面積的一半．
（2）①當(dāng)x=6時，B與F重合，當(dāng)x=8時，E與B重合，因此這期間，重疊的部分是個三角形，可用x表示出兩直角邊，然后得出x、y的函數(shù)關(guān)系式．
②可根據(jù)x的不同取值范圍和（1）（2）①中得出的結(jié)論進行判斷．
解答：解：（1）如圖1，重疊部分的面積為×2²=2cm²

（2）①當(dāng)正方形停止運動時，點E與點B重合，此時x=8，如圖2，

當(dāng)6＜x＜8時，設(shè)正方形DEFG與AB交于點M，在Rt△MEB中，∠MEB=90°，ME=EB=CB-CE=6-（x-2）=8-x
∴重疊部分面積：y=S_△MEB=•EB²=（8-x）²
②在正方形運動過程中，分四種情況：當(dāng)0＜x＜2時，如圖3，

重疊部分面積y=2x，且0＜y＜4
令y=，得2x=，解得x=
當(dāng)2≤x≤4時，如圖4，

重疊部分面積都為4cm²，此時y≠
當(dāng)4＜x≤6時，如圖5，

易見重疊部分面積y隨x的增大而減小
由上面得出的結(jié)論知當(dāng)x=4時，y=4；由（1）知當(dāng)x=6時，y=2
∴2≤y＜4，此時y≠
當(dāng)6＜x＜8時，由（2）①已求得y=（8-x）²=（x-8）²，
∵y隨x的增大而減小，又當(dāng)x=6時，y=2，當(dāng)x=8時，y=0時，
∴0＜y＜2
令y=（x-8）²=，解得x₁=7，x₂=9（不合題意，舍去）
∴x=7
綜上，當(dāng)x=或x=7時，y=．
點評：本題考查了正方形的性質(zhì)以及二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，本題中高清不同的時段正方形與三角形的不同位置關(guān)系式解題的關(guān)鍵．