Question

已知拋物線y=x²-2（a+b）x+c²，其中a，b，c分別是三角形ABD的三邊．
①求證：該拋物線與x軸必有兩個(gè)交點(diǎn)；
②如圖，設(shè)直線與拋物線交于E、F，與y軸交于點(diǎn)M，拋物線與y軸交于點(diǎn)N，若拋物線對稱軸為直線x=2a，△MNE與△MNF面積之比為2：1，求證：△ABC為等腰直角三角形；
③在②的條件下，當(dāng)S_△ABC=2時(shí)，設(shè)拋物線與x軸交于P、Q，問：是否存在過P、Q兩點(diǎn)，且與Y軸相切的圓？若存在，求圓心的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．

Answer 1

①證明：△=b²-4ac=[-2（a+b）]²-4×1×c²=4[（a+b）²-c²]，
∵a+b＞c（三角形任意兩邊之和大于第三邊），
∴△＞0，
∴拋物線與x軸必有兩個(gè)交點(diǎn)；

②證明：拋物線對稱軸為直線x=-=-=2a，
解得a=b，
∴△ABC為等腰三角形，
直線與拋物線解析式聯(lián)立得，，
即x²-2（a+b）x+c²=2ax-3ac，
整理得，x²-6ax+c²+3ac=0，
∵△MNE與△MNF面積之比為2：1，
∴點(diǎn)E到MN的距離等于點(diǎn)F到MN的距離的2倍，
即點(diǎn)E的橫坐標(biāo)是點(diǎn)F的橫坐標(biāo)的2倍，
設(shè)點(diǎn)F的橫坐標(biāo)是x，則點(diǎn)E的橫坐標(biāo)是2x，
∴x+2x=6a，
解得x=2a，2x=4a，
∴x•2x=2a•4a=c²+3ac，
整理得c²+3ac-8a²=0，
解得c=a，c=-4a（舍去），
∴a²+b²=2a²=c²，
∴△ABC為直角三角形，
故△ABC為等腰直角三角形；

③解：存在．
理由如下：S_△ABC=×a×b=×a×a=2，
∴a=b=2，
∴c=a=2，
∴拋物線解析式為y=x²-2（a+b）x+c²=x²-8x+8，
∴PQ===4，
∵圓與y軸相切，
∴半徑r=2a=2×2=4，
∴弦心距==2，
∴存在過P、Q兩點(diǎn)，且與y軸相切的圓，圓心（4，2）或（4，-2）．
分析：①列式求出根的判別式，再根據(jù)三角形的任意兩邊之和大于第三邊判斷出△＞0，即可判斷與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)；
②先根據(jù)拋物線對稱軸公式求出a=b，再根據(jù)△MNE與△MNF面積之比為2：1，可以求出點(diǎn)E的橫坐標(biāo)是點(diǎn)F的橫坐標(biāo)的2倍，直線與拋物線解析式聯(lián)立得到關(guān)于x的方程，即方程的一個(gè)解是另一個(gè)解的2倍，從而求出方程的兩個(gè)根，再根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系中的兩根之積列式求出a與c的關(guān)系，然后根據(jù)勾股定理逆定理即可證明；
③根據(jù)三角形的面積求出a、b的長度，然后求出c的長度，從而得到拋物線解析式，然后求出PQ的長度，再根據(jù)圓與y軸相切求出圓的半徑，然后根據(jù)圓的半徑、弦的一半，利用勾股定理求出弦心距即可得到圓心的坐標(biāo)．
點(diǎn)評：本題是二次函數(shù)綜合題，考查了利用根的判別式求拋物線與x軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，聯(lián)立直線與拋物線解析式求函數(shù)圖象的交點(diǎn)坐標(biāo)之間的關(guān)系，函數(shù)圖象上兩點(diǎn)間的距離的求解，半徑、弦心距、半弦長組成的三角形的計(jì)算，綜合性較強(qiáng)，對同學(xué)們能力要求較高，仔細(xì)分析，認(rèn)真計(jì)算也不難求解．