Question

關于x的方程mx²-x+m²+1=0只有一個實數(shù)根，則函數(shù)y=x²-（3m+4）x+m-1的圖象與坐標軸的交點個數(shù)有    ．

Answer 1

【答案】分析：（1）當m=0時，求出b²-4ac＞0，得到此函數(shù)與x軸有兩個交點，求出y軸的交點；
（2）當m≠0時，根據(jù)根的判別式求出b²-4ac=0，推出m＞0，函數(shù)y=x²-（3m+4）x+m-1，①先由△的符號判定與x軸的交點數(shù)△=9m²+20m+20＞0，得到此函數(shù)與x軸有兩個交點，②再求函數(shù)與y軸的交點即可．
解答：解：（1）當m=0時，
函數(shù)為：y=x²-4x-1，
b²-4ac=（-4）²-4×1×（-1）=20＞0，
∴此函數(shù)與x軸有兩個交點，
與Y軸的交點是（0，-1），
∴與坐標軸的交點個數(shù)有3個；
（2）當m≠0時，
∵關于x的方程mx²-x+m²+1=0只有一個實數(shù)根，
∴b²-4ac=（-1）²-4m（m²+1）=1-4m（m²+1）=0，
即4m（m²+1）=1＞0，
由于m²+1＞0，
∴m＞0，
對于函數(shù)y=x²-（3m+4）x+m-1，
①先由△的符號判定與x軸的交點數(shù)，
△=（3m+4）²-4（m-1）=9m²+20m+20＞0，
∴此函數(shù)與x軸有兩個交點，
②再求該函數(shù)與y軸的交點，
令x=0得y=m-1，
∴與y軸的交點為（0，m-1），
將m=1代入等式4m（m²+1）=1驗證顯然不成立，
故m-1≠0，
即（0，m-1）不在x軸上，
綜上所述，該函數(shù)與x軸兩個交點，與y軸一個交點，即與坐標軸總共是3個交點．
故答案為：3個．
點評：本題主要考查對拋物線與x軸的交點，二次函數(shù)圖象上點的坐標特征，根的判別式等知識點的理解和掌握，能綜合運用這些性質(zhì)進行計算是解此題的關鍵．