Question

如圖，在正方形ABCD中，點E、F分別是BC、CD的中點，DE交AF于點M，點N為DE的中點．

（1）若AB=4，求△DNF的周長及sin∠DAF的值；

（2）求證：2AD•NF=DE•DM．

Answer 1

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（1）解：∵點E、F分別是BC、CD的中點， ∴EC=DF=×4=2， 由勾股定理得，DE==2， ∵點F是CD的中點，點N為DE的中點， ∴DN=DE=×2=， NF=EC=×2=1， ∴△DNF的周長=1++2=3+； 在Rt△ADF中，由勾股定理得，AF===2， 所以，sin∠DAF===； （2）證明：在△ADF和△DCE中， ， ∴△ADF≌△DCE（SAS）， ∴AF=DE，∠DAF=∠CDE， ∵∠DAF+∠AFD=90°， ∴∠CDE+∠AFD=90°， ∴AF⊥DE， ∵點E、F分別是BC、CD的中點， ∴NF是△CDE的中位線， ∴DF=EC=2NF， ∵cos∠DAF==， cos∠CDE==， ∴=， ∴2AD•NF=DE•DM．