如圖①,在正方形ABCD中,P是對角線AC上的一點,點E在BC的延長線上,且PE=PB.
(1)求證:△BCP≌△DCP;
(2)求證:∠DPE=∠ABC;
(3)把正方形ABCD改為菱形,其它條件不變(如圖②),若∠ABC=58°,則∠DPE=______度.

【答案】分析:(1)根據(jù)正方形的四條邊都相等可得BC=DC,對角線平分一組對角可得∠BCP=∠DCP,然后利用“邊角邊”證明即可;
(2)根據(jù)全等三角形對應角相等可得∠CBP=∠CDP,根據(jù)等邊對等角可得∠CBP=∠E,然后求出∠DPE=∠DCE,再根據(jù)兩直線平行,同位角相等可得∠DCE=∠ABC,從而得證;
(3)根據(jù)(2)的結(jié)論解答.
解答:(1)證明:在正方形ABCD中,BC=DC,∠BCP=∠DCP=45°,
∵在△BCP和△DCP中,
,
∴△BCP≌△DCP(SAS);

(2)證明:由(1)知,△BCP≌△DCP,
∴∠CBP=∠CDP,
∵PE=PB,
∴∠CBP=∠E,
∴∠DPE=∠DCE,
∵∠1=∠2(對頂角相等),
∴180°-∠1-∠CDP=180°-∠2-∠E,
即∠DPE=∠DCE,
∵AB∥CD,
∴∠DCE=∠ABC,
∴∠DPE=∠ABC;

(3)解:與(2)同理可得:∠DPE=∠ABC,
∵∠ABC=58°,
∴∠DPE=58°.
故答案為:58.
點評:本題考查了正方形的性質(zhì),全等三角形的判定與性質(zhì),菱形的性質(zhì),等邊對等角的性質(zhì),熟記正方形的性質(zhì)確定出∠BCP=∠DCP是解題的關(guān)鍵.
練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目:初中數(shù)學 來源: 題型:

25、把正方形OFGE紙板按如圖①方式放置在正方形紙板ABCD上,頂點G在對角線AC,并把正方形OFGE繞頂點A沿逆時針方向旋轉(zhuǎn),旋轉(zhuǎn)角為а.
(1)如圖②,當а=90°時,請直接寫出線段DE與BF的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系;
(2)如圖③,當0°<а<90°時,(1)中的結(jié)論是否發(fā)生改變?若不變,請給出證明.若發(fā)生改變,請舉例說明;
(3)如圖④,將圖①、圖③中的兩個正方形都改為矩形,其他條件不變,設AB=kAD(k>0),當0°<а<90°時,(1)中的結(jié)論是否發(fā)生改變?若不變,請給出證明.若發(fā)生改變,請寫出改變后的新結(jié)論,并給出證明.

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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:

(1)填空:如圖1,在正方形PQRS中,已知點M、N分別在邊QR、RS上,且QM=RN,連接PN、SM相交于點O,則∠POM=
 
度;
(2)如圖2,在等腰梯形ABCD中,已知AB∥CD,BC=CD,∠ABC=60度.以此為部分條件,精英家教網(wǎng)構(gòu)造一個與上述命題類似的正確命題并加以證明.

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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:

26、如圖1,在正方形ABCD中,若點E是△DBC內(nèi)的一點,且DE=DC,BE=CE.
(1)連接AE.說明△ABE≌△DCE的理由;
(2)求∠BDE與∠CDE度數(shù)的比值;
(3)拓展探索:若只將題中的條件“正方形ABCD”換成條件“梯形ABCD中,AD∥BC,AB=DC,2∠DBC=∠DCB”.如圖2,研究∠BDE與∠CDE度數(shù)的比值是否與(2)中的結(jié)論相同,寫出你的研究結(jié)果并說明理由.

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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:

精英家教網(wǎng)如圖1,在正方形ABCD中,對角線AC與BD相交于點E,AF平分∠BAC,交BD于點F.
(1)求證:EF+
1
2
AC=AB;
(2)點C1從點C出發(fā),沿著線段CB向點B運動(不與點B重合),同時點A1從點A出發(fā),沿著BA的延長線運動,點C1與A1的運動速度相同,當動點C1停止運動時,另一動點A1也隨之停止運動.如圖2,A1F1平分∠BA1C1,交BD于點F1,過點F1作F1E1⊥A1C1,垂足為E1,請猜想E1F1,
1
2
A1C1與AB三者之間的數(shù)量關(guān)系,并證明你的猜想;
(3)在(2)的條件下,當A1E1=3,C1E1=2時,求BD的長.

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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:

課本練習拓展:
(1)如圖1,在正方形ABCD中,E是BC上的一點,△ABE經(jīng)過旋轉(zhuǎn)后得到△ADF,
①旋轉(zhuǎn)中心是點
A
A
;旋轉(zhuǎn)角度最少是
90
90
度.
②愛動腦筋的小兵,在CD邊上取點H使得∠HAE=45°,他發(fā)現(xiàn):HE=BE+HD,他的發(fā)現(xiàn)正確嗎?請你判斷并說明理由.
(2)思維闖關(guān):
如圖2,在直角梯形ABCD中AD∥BC(BC>AD),∠B=90°BC=AB=6,E是 AB上一點,且∠DCE=45°,BE=2,則DE的長=
5
5
.(小兵運用解答(1)中所積累的經(jīng)驗和知識做出了該題)
(3)動手闖過:
①小明有一塊如圖3所示的紙片,其中∠A=∠C=90°,AB=AD.小明請小兵只剪一刀后把它拼成正方形,請你幫助小兵在圖中畫出剪拼得示意圖.
②小兵好朋友小紅現(xiàn)有兩塊同小明一樣的紙片,如圖4,小兵能否在每塊上各剪一刀,然后拼成一個大的正方形?若能,請你畫出剪法和拼法的示意圖;若不能,簡要說明理由.

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同步練習冊答案