Question

如圖1，△ABC是等腰直角三角形，四邊形ADEF是正方形，D、F分別在AB、AC邊上，此時BD=CF，BD⊥CF成立．
（1）當正方形ADEF繞點A逆時針旋轉θ（0°＜θ＜90°）時，如圖2，BD=CF成立嗎？若成立，請證明；若不成立，請說明理由．
（2）當正方形ADEF繞點A逆時針旋轉45°時，如圖3，延長BD交CF于點G．
①求證：BD⊥CF；
②當AB=4，AD=時，求線段BG的長．

Answer 1

【答案】分析：（1）△ABC是等腰直角三角形，四邊形ADEF是正方形，易證得△BAD≌△CAF，根據(jù)全等三角形的對應邊相等，即可證得BD=CF；
（2）①由△BAD≌△CAF，可得∠ABM=∠GCM，又由對頂角相等，易證得△BMA∽△CMG，根據(jù)相似三角形的對應角相等，可得BGC=∠BAC=90°，即可證得BD⊥CF；
②首先過點F作FN⊥AC于點N，利用勾股定理即可求得AE，BC的長，繼而求得AN，CN的長，又由等角的三角函數(shù)值相等，可求得AM=AB=，然后利用△BMA∽△CMG，求得CG的長，再由勾股定理即可求得線段BG的長．
解答：解（1）BD=CF成立．
理由：∵△ABC是等腰直角三角形，四邊形ADEF是正方形，
∴AB=AC，AD=AF，∠BAC=∠DAF=90°，
∵∠BAD=∠BAC-∠DAC，∠CAF=∠DAF-∠DAC，
∴∠BAD=∠CAF，
在△BAD和△CAF中，

∴△BAD≌△CAF（SAS）．
∴BD=CF．…（3分）

（2）①證明：設BG交AC于點M．
∵△BAD≌△CAF（已證），
∴∠ABM=∠GCM．
∵∠BMA=∠CMG，
∴△BMA∽△CMG．
∴∠BGC=∠BAC=90°．
∴BD⊥CF．…（6分）

②過點F作FN⊥AC于點N．
∵在正方形ADEF中，AD=DE=，
∴AE==2，
∴AN=FN=AE=1．
∵在等腰直角△ABC 中，AB=4，
∴CN=AC-AN=3，BC==4．
∴在Rt△FCN中，tan∠FCN==．
∴在Rt△ABM中，tan∠ABM==tan∠FCN=．
∴AM=AB=．
∴CM=AC-AM=4-=，BM==．…（9分）
∵△BMA∽△CMG，
∴．
∴．
∴CG=．…（11分）
∴在Rt△BGC中，BG==．…（12分）
點評：此題考查了相似三角形的判定與性質、全等三角形的判定與性質、等腰直角三角形的性質、矩形的性質、勾股定理以及三角函數(shù)等知識．此題綜合性很強，難度較大，注意數(shù)形結合思想的應用，注意輔助線的作法．