Question

如圖，CD切⊙O于點(diǎn)D，連接OC，交⊙O于點(diǎn)B，過(guò)點(diǎn)B作弦AB∥DC，點(diǎn)E為垂足，已知⊙O的半徑為6，
（1）若OE=4，求弦AB的長(zhǎng)；
（2）若DC=6

3

，求劣弧AB的長(zhǎng)．

Answer 1

分析：（1）由CD為圓O的切線，根據(jù)切線的性質(zhì)得到CD與OD垂直，又AB與DC平行，根據(jù)與平行線中的一條直線垂直，與另一條也垂直可得OE與AB垂直，根據(jù)垂徑定理可得E為AB的中點(diǎn)，即AB=2EB，在直角三角形OEB中，由OE及OB的長(zhǎng)，利用勾股定理求出EB的長(zhǎng)，可得出AB的長(zhǎng)；
（2）由DC與OD垂直，可得三角形ODC為直角三角形，在直角三角形ODC中，由DC及OD的長(zhǎng)，利用銳角三角函數(shù)定義表示出∠COD的正切值，利用特殊角的三角函數(shù)值求出∠COD的度數(shù)，然后利用弧長(zhǎng)公式求出弧BD的長(zhǎng)，又OE與AB垂直，根據(jù)垂徑定理得到D為劣弧AB的中點(diǎn)，可得出弧AB的長(zhǎng)等于弧BD長(zhǎng)的2倍．

解答：解：（1）∵CD為圓O的切線，
∴CD⊥OD，
∴∠ODC=90°，又AB∥DC，
∴∠OEB=∠ODC=90°，
在Rt△OEB中，OE=4，OB=6，
根據(jù)勾股定理得：EB=

OB2-OE2

=2

5

，
又OE⊥AB，
∴E為弦AB的中點(diǎn)，
則AB=2BE=4

5

；
（2）由∠ODC=90°，得到△OCD為直角三角形，
∵DC=6

3

，OD=6，
∴tan∠COD=

CD

OD

=

6 3

6

=

3

，
∴∠COD=60°，
又OE⊥AB，
∴D為

AB

的中點(diǎn)，即

AD

=

BD

=

60π×6

180

=2π，
則

AB

=2

BD

=4π．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了切線的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，垂徑定理，勾股定理，銳角三角函數(shù)，以及弧長(zhǎng)公式，熟練掌握定理及性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．