Question

如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與直線相交于A，B兩點(diǎn)．
（1）求線段AB的長(zhǎng)；
（2）若一個(gè)扇形的周長(zhǎng)等于（1）中線段AB的長(zhǎng)，當(dāng)扇形的半徑取何值時(shí)，扇形的面積最大，最大面積是多少；
（3）如圖2，線段AB的垂直平分線分別交x軸、y軸于C，D兩點(diǎn)，垂足為點(diǎn)M，分別求出OM，OC，OD的長(zhǎng)，并驗(yàn)證等式是否成立；
（4）如圖3，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足為D，設(shè)BC=a，AC=b，AB=c．CD=b，試說(shuō)明：．

Answer 1

【答案】分析：（1）分別過(guò)A、B兩點(diǎn)作AE⊥x軸，BF⊥y軸，垂足分別為E、F，利用勾股定理求出AB的值．
（2）設(shè)扇形的半徑為x，扇形面積為y．根據(jù)扇形的面積公式求出函數(shù)關(guān)系式化簡(jiǎn)即可．
（3）過(guò)點(diǎn)A作AE⊥x軸，垂足為點(diǎn)E．證明△AEO∽△CMO，利用線段比求出CO、OD的值．利用勾股定理求出OM．
（4）由題意利用勾股定理得AB²=a²+b²．然后推出a²b²=c²•h²可證明．
解答：解：（1）在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與直線相交于A，B兩點(diǎn)．
∴A（-4，-2），B（6，3）
如圖1，分別過(guò)A、B兩點(diǎn)作AE⊥x軸，BF⊥x軸，垂足分別為E、F，
∴AB=OA+OB==

（2）設(shè)扇形的半徑為x，則弧長(zhǎng)為，扇形的面積為y
則==
∵a=-1＜0
∴當(dāng)時(shí)，函數(shù)有最大值y_最大=

（3）如圖2，過(guò)點(diǎn)A作AE⊥x軸，垂足為點(diǎn)E．
∵CD垂直平分AB，點(diǎn)M為垂足
∴
∵∠AEO=∠OMC，∠EOA=∠COM
∴△AEO∽△CMO
∴
∴
∴
同理可得
∴
∴
∴

（4）等式成立．理由如下：
∵∠ACB=90°，CD⊥AB
∴
∴ab=c•h
∴a²b²=c²•h²
∴a²b²=（a²+b²）h²
∴
∴
∴
∴．
點(diǎn)評(píng)：本題考查的是二次函數(shù)的綜合題，同時(shí)要注意的是函數(shù)與勾股定理相結(jié)合解答題目．