Question

如圖，在矩形ABCD中，對角線BD的垂直平分線MN與AD相交于點M，與BD相交于點O，與BC相交于點N，連接BM、DN．
(1)求證：四邊形BMDN是菱形；
(2)若AB＝4，AD＝8，求菱形BMDN的面積和對角線MN的長．

Answer 1

(1)證明見解析；（2）菱形BMDN的面積為20，MN=2．

試題分析：（1）根據矩形性質求出AD∥BC，推出∠MDO=∠NBO，∠DMO=∠BNO，證△DMO≌△BNO，推出OM=ON，得出平行四邊形BMDN，推出菱形BMDN；
（2）根據菱形性質求出DM=BM，在Rt△AMB中，根據勾股定理得出BM²=AM²+AB²，推出x²=x²﹣16x+64+16，求出即可．
試題解析：（1）∵四邊形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，∠A=90°，
∴∠MDO=∠NBO，∠DMO=∠BNO，
∵在△DMO和△BNO中
，
∴△DMO≌△BNO（AAS），
∴OM=ON，
∵OB=OD，
∴四邊形BMDN是平行四邊形，
∵MN⊥BD，
∴平行四邊形BMDN是菱形；
（2）∵四邊形BMDN是菱形，
∴MB=MD，
設MD長為x，則MB=DM=x，
在Rt△AMB中，BM²=AM²+AB²
即x²=（8﹣x）²+4²，
解得：x=5，
∴菱形BMDN的面積為：MD×AB=5×4=20，
∵AB＝4，AD＝8，
∴BD=4
∵菱形BMDN的面積還可以表示為：BD×MN=2 MN
∴2 MN=20
∴MN=2．