Question

（2013•白云區(qū)一模）如圖，D為△ABC的AB邊上一點，E為AC延長線上的一點，且CE=BD．
（1）當AB=AC時，求證：DE＞BC；
（2）當AB≠AC時，DE與BC有何大小關系？給出結論，畫出圖形，并證明．

Answer 1

分析：（1）作DF∥BC，CF∥BD（如圖1），則四邊形BCFD是平行四邊形，從而∠DFC=∠B，DF=BC，CF=BD，再由BD=CE可得出∠1=∠2，再由大角對大邊即可得出結論；
（2）由于AB、CD的大小不能確定，故應分①AB＞AC但AB=AE時；②當AB＞AC但AB＜AE時；③當AB＞AC且AB＞AE時；④當AB＜AC時四種情況進行分類討論．

解答：（1）證明：作DF∥BC，CF∥BD（如圖1），則四邊形BCFD是平行四邊形，從而∠DFC=∠B，DF=BC，CF=BD，
∵BD=CE，
∴CF=CE，
∴∠1=∠2．
∵AB=AC，
∴∠ACB=∠B而∠DFE=∠DFC+∠1=∠B+∠1=∠ACB+∠2＞∠AED+∠2=∠DEF，
即在△DEF中，
∵∠DFE＞∠DEF，
∴DE＞DF，即DE＞BC；

（2）解：當AB≠AC時，DE與BC的大小關系如下：
當AB＞AC但AB=AE時，DE=BC；
當AB＞AC但AB＜AE時，DE＞BC；
當AB＞AC且AB＞AE時，DE＜BC；
當AB＜AC時，DE＞BC．
證明如下：
①當AB＞AC但AB=AE時（如圖2），
∵BD=CE，
∴AB-BD=AE-CE，即AD=AC．
在△ABC和△AED中，
∵

AB=AE ∠A=∠A AC=AD

，
∴△ABC≌△AED（SAS），
∴BC=ED；
②AB＞AC但AB＜AE時，延長AB到F，使AF=AE，
在AE上截取AP=AD（如圖3），連結PF．
在△AFP和△AED中，
∵

AE=AF ∠A=∠A AD=AP

，
∴△AFP≌△AED（SAS），
∴∠F=∠AED，即∠F=∠4．
∵∠ABC＞∠F，
∴∠ABC＞∠4．
過D點作DQ∥BC，且DQ=BC，連結CQ、EQ，則四邊形DBCQ為平行四邊形，
∴∠3=∠ABC，CQ=BD．
∵BD=CE，∴CQ=CE，
∴∠1=∠2．
∵∠3=∠ABC＞∠4，
∴∠3+∠1＞∠2+∠4，即∠DQE＞∠DEQ，
∴DE＞DQ，∴DE＞BC；
③當AB＞AC且AB＞AE時，延長AE到F，使AF=AB，在AB上截取AP=AC（如圖4），連結PF．
在△ABC和△AFP中，
∵

AB=AF ∠A=∠A AC=AP

，
∴△ABC≌△AFP（SAS），
∴∠B=∠F．
∵∠4＞∠F，
∴∠4＞∠B．
過D點作DQ∥BC，且DQ=BC，連結CQ、EQ，則四邊形DBCQ為平行四邊形，
∴∠3=∠B，CQ=BD．
∵BD=CE，
∴CQ=CE，
∴∠1=∠2．
∵∠3=∠B＜∠4，
∴∠3+∠1＜∠4+∠2，即∠DQE＜∠DEQ，
∴DE＜DQ，
∴DE＜BC．
④當AB＜AC時，此時，AB必小于AE，即AB＜AE，延長AB到F，使AF=AE，在AE上截取AP=AD（如圖5）．連結PF．在△AFP和△AED中，
∵

AF=AE ∠A=∠A AP=AD

，
∴△AFP≌△AED（SAS），
∴∠F=∠AED，即∠F=∠4．
∵∠ABC＞∠F，
∴∠ABC＞∠4．
過D點作DQ∥BC，且DQ=BC，連結CQ、EQ，則四邊形DBCQ為平行四邊形，
∴∠3=∠ABC，CQ=BD．
∵BD=CE，
∴CQ=CE，
∴∠1=∠2．
∵∠3=∠ABC＞∠4，
∴∠3+∠1＞∠2+∠4，即∠DQE＞∠DEQ，
∴DE＞DQ，
∴DE＞BC．

點評：本題考查的是四邊形綜合題，涉及到平行四邊形的性質、全等三角形的判定與性質等相關知識，難度較大．