Question

如圖為一Rt△ABC，∠ACB=90°，則：
（1）到此三角形三邊距離相等的點(diǎn)有多少個(gè)？
（2）用尺規(guī)在此三角形內(nèi)部作出一個(gè)滿足上述條件的點(diǎn)．
（3）若三角形三邊分別為BC=a，AC=b，AB=c，求出（2）中點(diǎn)到三邊的距離．（用a，b，c表示）

Answer 1

解：（1）有四個(gè)，分別是△ABC的一個(gè)內(nèi)心和三個(gè)旁心（即三角形一個(gè)內(nèi)角和另外兩角的外角平分線的交點(diǎn)）．
（2）分別作∠A、∠B的角平分線，兩條射線的交點(diǎn)即為所求作的點(diǎn)，如圖（點(diǎn)O即為求作的點(diǎn)）：


（3）由于點(diǎn)O到△ABC三邊的距離相等，那么點(diǎn)O為△ABC的內(nèi)心，點(diǎn)O到三角形三邊的距離即為內(nèi)切圓半徑；
由于△ABC是直角三角形，那么它的內(nèi)切圓半徑為：R=．
分析：（1）應(yīng)該有4個(gè)，易知△ABC的內(nèi)心符合要求；另外三個(gè)分別是△ABC的一個(gè)內(nèi)角與其他兩角的外角平分線的交點(diǎn)．
（2）作任意兩角的平分線，這兩條角平分線的交點(diǎn)即為所求作的點(diǎn)．
（3）可直接利用直角三角形內(nèi)切圓半徑的公式進(jìn)行求解．
點(diǎn)評：此題主要考查了角平分線的性質(zhì)以及直角三角形內(nèi)切圓半徑的求法，難度適中；需要注意的是，（1）題中，三個(gè)旁心是容易被忽略的點(diǎn)，因此考慮問題一定要全面．