如圖,D是⊙O的直徑CA延長線上一點,點 B在⊙O上,且AB=AD=AO.

(1)求證:BD是⊙O的切線;

(2)若E是劣弧BC上一點,AE與BC相交于點F,△BEF的面積為8,且cos∠BFA=,求△ACF的面積.

 

(1)證明:連接BO.(如圖4)     

                         

             ∵ AB=AD,   

∴ ∠D=∠ABD.

             ∵ AB=AO,

    ∴ ∠ABO=∠AOB.

             又∵ 在△OBD中,∠D+∠DOB+∠ABO+∠ABD=180°,

             ∴ ∠OBD=90°.

∴ BD⊥BO.…………………………………………………………………1分

             ∵ 點B在⊙O上,

             ∴ BD是⊙O的切線 . ……………………………………………………2分

(2)解:∵ ∠C=∠E,∠CAF=∠EBF ,

           ∴ △ACF∽△BEF .  ………………………………………………………3分

     ∵ AC是⊙O的直徑,點B在⊙O上,

           ∴ ∠ABC=90°.

∵ 在Rt△BFA中,∠ABF=90°,cos∠BFA=,

           ∴ .………………………………………………………4分

        又∵ =8 ,

            ∴ =18 . ……………………………………………………………5分

解析:略

 

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