Question

【題目】半徑為1的球O內(nèi)有一個(gè)內(nèi)接正三棱柱，當(dāng)正三棱柱的側(cè)面積最大時(shí)，球的表面積與該正三棱柱的側(cè)面積之差是 ．

Answer 1

【答案】4π﹣3
【解析】解：如圖所示，
設(shè)球心為O點(diǎn)，上下底面的中心分別為O1 ， O2 ．
設(shè)正三棱柱的底面邊長與高分別為x，h．
則O2A= x，
在Rt△OAO2中， =1，
化為h2=4﹣ x2 ．
∵S側(cè)=3xh，
∴S側(cè)2=9x2h2=12x2（3﹣x2） =27．
當(dāng)且僅當(dāng)x= 時(shí)取等號(hào)，S側(cè)=3 ．
∴球的表面積與該正三棱柱的側(cè)面積之差是4π﹣3 ，
故答案為：4π﹣3 ．
如圖所示，設(shè)球心為O點(diǎn)，上下底面的中心分別為O1 ， O2 ． 設(shè)正三棱柱的底面邊長與高分別為x，h．可得O2A= x．在Rt△OAO2中，利用勾股定理可得 =1，由于S側(cè)=3xh，可得S側(cè)2=9x2h2=12x2（3﹣x2） ，即可得出．