Question

已知：如圖，直線MN交⊙O于A、B兩點(diǎn)，AC是直徑，AD平分∠CAM交⊙O于點(diǎn)D，過點(diǎn)D作DE⊥MN，垂足為E．
（1）求證：DE是⊙O的切線；
（2）若∠ADE=30°，⊙O的半徑為2，求圖中陰影部分的面積．

Answer 1

【答案】分析：（1）首先由等腰三角形的性質(zhì)，可得∠OAD=∠ODA，易證得DO∥MN，即可得DE⊥OD，即得DE是⊙O的切線；
（2）根據(jù)陰影部分的面積等于扇形面積減去等邊△OAB的面積求解即可．
解答：（1）證明：連接OD，
∵OA=OD（⊙O的半徑），
∴∠OAD=∠ODA（等邊對(duì)等角），
∵AD平分∠CAM（已知），
∴∠OAD=∠DAE，
∴∠ODA=∠DAE（等量代換），
∴DO∥MN（內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行）；
∵DE⊥MN（已知），
∴DE⊥OD，
∵D在⊙O上，
∴DE是⊙O的切線；

（2）解：過點(diǎn)O作OF⊥AB于F．
∵∠ADE=30°，DE⊥MN，
∴∠DAE=60°；
又∵AD平分∠CAM，
∴∠OAD=∠DAE=60°，
∴∠CAB=60°，
∴∠AOF=30°，
∴∠AOB=60°，
∴cos∠CAB==，
∴AF=1；
∴OF=，
∴S_陰影=S_扇形-S_△OAB=-×2×=π-．
點(diǎn)評(píng)：此題考查了圓的切線的性質(zhì)與判定，以及相似三角形的判定與性質(zhì)和三角函數(shù)的性質(zhì)．此題綜合型性比較強(qiáng)，解題時(shí)要注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．