如圖1,在平面直角坐標系中,拋物線y=
1
4
x2-6
與直線y=
1
2
x
相交于A,B兩點.
(1)求線段AB的長;
(2)若一個扇形的周長等于(1)中線段AB的長,當扇形的半徑取何值時,扇形的面積最大,最大面積是多少;
(3)如圖2,線段AB的垂直平分線分別交x軸、y軸于C,D兩點,垂足為點M,分別求出OM,OC,OD的長,并驗證等式
1
OC2
+
1
OD2
=
1
OM2
是否成立;
(4)如圖3,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB,垂足為D,設BC=a,AC=b,AB=c.CD=b,試說明:
1
a2
+
1
b2
=
1
h2

精英家教網(wǎng)
分析:(1)分別過A、B兩點作AE⊥x軸,BF⊥y軸,垂足分別為E、F,利用勾股定理求出AB的值.
(2)設扇形的半徑為x,扇形面積為y.根據(jù)扇形的面積公式求出函數(shù)關系式化簡即可.
(3)過點A作AE⊥x軸,垂足為點E.證明△AEO∽△CMO,利用線段比求出CO、OD的值.利用勾股定理求出OM.
(4)由題意利用勾股定理得AB2=a2+b2.然后推出a2b2=c2•h2可證明.
解答:精英家教網(wǎng)解:(1)在平面直角坐標系中,拋物線y=
1
4
x2-6
與直線y=
1
2
x
相交于A,B兩點.
∴A(-4,-2),B(6,3)
如圖1,分別過A、B兩點作AE⊥x軸,BF⊥x軸,垂足分別為E、F,
∴AB=OA+OB=
42+22
+
62+32
=5
5


(2)設扇形的半徑為x,則弧長為(5
5
-2x)
,扇形的面積為y
y=
1
2
x(5
5
-2x)
=-x2+
5
2
5
x
=-(x-
5
5
4
)2+
125
16

∵a=-1<0
∴當x=
5
5
4
時,函數(shù)有最大值y最大=
125
16


(3)如圖2,過點A作AE⊥x軸,垂足為點E.精英家教網(wǎng)
∵CD垂直平分AB,點M為垂足
OM=
1
2
AB-OA=
5
5
2
-2
5
=
5
2

∵∠AEO=∠OMC,∠EOA=∠COM
∴△AEO∽△CMO
OE
OM
=
AO
CO

4
5
2
=
2
5
CO

CO=
5
2
•2
5
1
4
=
5
4

同理可得OD=
5
2

1
OC2
+
1
OD2
=(
4
5
)2+(
2
5
)2=
20
25
=
4
5

1
OM2
=
4
5

1
OC2
+
1
OD2
=
1
OM2


(4)等式
1
a2
+
1
b2
=
1
h2
成立.理由如下:精英家教網(wǎng)
∵∠ACB=90°,CD⊥AB
1
2
ab=
1
2
AB•h   AB2=a2+b2

∴ab=c•h
∴a2b2=c2•h2
∴a2b2=(a2+b2)h2
a2b2
a2b2h2
=
(a2+b2)h2
a2b2h2

1
h2
=
a2+b2
a2b2

1
h2
=
1
a2
+
1
b2

1
a2
+
1
b2
=
1
h2
點評:本題考查的是二次函數(shù)的綜合題,同時要注意的是函數(shù)與勾股定理相結合解答題目.
練習冊系列答案
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23、在數(shù)學上,為了確定平面上點的位置,我們常用下面的方法:如圖甲,在平面內畫兩條互相垂直,并且有公共原點O的數(shù)軸,通常一條畫成水平,叫x軸,另一條畫成鉛垂,叫y軸,這樣,我們就說在平面上建立了一個平面直角坐標系,這是由法國數(shù)學家和哲學家笛卡爾創(chuàng)立的,這樣我們就能確定平面上點的位置,例如,要確定點M的位置,只要作MP⊥x軸,MP⊥y軸,設垂足N,P在各自數(shù)軸上所表示的數(shù)分別為x,y,則x叫做點M的橫坐標,y叫做點M的縱坐標,有序數(shù)對(x,y)叫做M點的坐標,如圖甲,點M的坐標記作(2,3),(1)△ABC在平面直角坐標系中的位置如圖乙,請把△ABC向右平移3個單位,在平面直角坐標系中畫出平移后的△A′B′C′;
(2)請寫出平移后點A′的坐標,記作
(2,2)

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2
cm的等腰直角三角板ABC如圖放置,BC邊與x軸重合,∠ACB=90°,直角頂點C的坐標為(-3,0).
(1)點A的坐標為
(-3,2
2
(-3,2
2
,點B的坐為
(-3-2
2
,0)
(-3-2
2
,0)
;
(2)求以原點O為頂點且過點A的拋物線的解析式;
(3)現(xiàn)三角板ABC以1cm/s的速度沿x軸正方向平移,則平移的時間為多少秒時,三角板的邊所在直線與半徑為2cm的⊙O相切?

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(1)按照這種規(guī)定填寫下表:

(2)根據(jù)表中的數(shù)據(jù),將s作為縱坐標,n作為橫坐標,在如圖所示的平面直角坐標系中找出相應各點.

(3)請你猜一猜上述各點會在某一個函數(shù)圖象上嗎?如果在某一函數(shù)圖象上,求出該函數(shù)的解析式,并利用你探求的結果,求出當n=10時,s的值.

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小明在研究中心對稱問題時發(fā)現(xiàn):

如圖1,當點為旋轉中心時,點繞著點旋轉180°得到點,點再繞著點旋轉180°得到點,這時點與點重合.

如圖2,當點為旋轉中心時,點繞著點旋轉180°得到點,點繞著點旋轉180°得到點,點繞著點旋轉180°得到點,點繞著點旋轉180°得到點,小明發(fā)現(xiàn)P、兩點關于點中心對稱.

(1)請在圖2中畫出點、, 小明在證明P、兩點關于點中心對稱時,除了說明P、、三點共線之外,還需證明;

(2)如圖3,在平面直角坐標系xOy中,當、為旋轉中心時,點繞著點旋轉180°得到點;點繞著點旋轉180°得到點;點繞著點旋轉180°得到點;點繞著點旋轉180°得到點. 繼續(xù)如此操作若干次得到點,則點的坐標為(),點的坐為.

 

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(1)△ABC在平面直角坐標系中的位置如圖乙,請把△ABC向右平移3個單位,在平面直角坐標系中畫出平移后的△A′B′C′;
(2)請寫出平移后點A′的坐標,記作______.

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