Question

【題目】如圖1，O為線(xiàn)段AB上一點(diǎn)，AB=6，OC為射線(xiàn)，且∠BOC=60°，動(dòng)點(diǎn)P以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度從點(diǎn)O出發(fā)，沿射線(xiàn)OC做勻速運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．

（1）若AO=4，
①當(dāng)t=1秒時(shí)，OP= ， S△ABP=；
②當(dāng)△ABP是直角三角形時(shí)，求t的值；
（2）如圖2，若點(diǎn)O為AB中點(diǎn)，當(dāng)AP=AB時(shí)，過(guò)點(diǎn)A作AQ∥BP，并使得∠QOP=∠B，求AQBP的值．

Answer 1

【答案】
（1）2,3 ,解：②當(dāng)△ABP是直角三角形時(shí),a、若∠A=90°．∵∠BOC=60°且∠BOC＞∠A,∴∠A≠90°,故此種情形不存在；b、若∠B=90°,如答圖2所示：∵∠BOC=60°,∴∠BPO=30°,∴OP=2OB=4,又OP=2t,∴t=2；c、若∠APB=90°,如答圖3所示：過(guò)點(diǎn)P作PD⊥AB于點(diǎn)D,則OD=OP?sin30°=t,PD=OP?sin60°= t,∴AD=OA+OD=4+t,BD=OB﹣OD=2﹣t．在Rt△ABP中,由勾股定理得：PA2+PB2=AB2∴（AD2+PD2）+（BD2+PD2）=AB2,即[（4+t）2+（ t）2]+[（2﹣t）2+（ t）2]=62,解方程得：t= 或t= （負(fù)值舍去）,∴t= ．綜上所述,當(dāng)△ABP是直角三角形時(shí),t=2或t= ．
（2）解：如圖中，作OE∥AP，交BP于點(diǎn)E．

∵AP=AB，

∴∠APB=∠B，

∴∠OEB=∠APB=∠B，

∵AQ∥BP，

∴∠QAB+∠B=180°．

又∵∠OEP+∠OEB=180°，

∴∠OEP=∠QAB，

又∵∠AOC=∠2+∠B=∠1+∠QOP，

∵∠B=∠QOP，

∴∠AOQ=∠OPE，

∴△QAO∽△OEP，

∴ = ，即AQEP=EOAO，

由三角形中位線(xiàn)定理得OE=3，

∴AQEP=9，

∴AQBP=AQ2EP=2AQEP=18．

【解析】解：（1）①當(dāng)t=1秒時(shí)，OP=2t=2×1=2．

如答圖1，過(guò)點(diǎn)P作PD⊥AB于點(diǎn)D．

在Rt△POD中，PD=OPsin60°=2× = ，

∴S△ABP= ABPD= ×（4+2）× =3 ．

所以答案是2，3 ．

【考點(diǎn)精析】關(guān)于本題考查的等腰三角形的性質(zhì)和勾股定理的概念，需要了解等腰三角形的兩個(gè)底角相等（簡(jiǎn)稱(chēng)：等邊對(duì)等角）；直角三角形兩直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方,即;a2+b2=c2才能得出正確答案．