Question

（2004•福州）如圖所示，拋物線y=-（x-m）²的頂點(diǎn)為A，直線與y軸的交點(diǎn)為B，其中m＞0．
（1）寫出拋物線對(duì)稱軸及頂點(diǎn)A的坐標(biāo)；（用含有m的代數(shù)式表示）
（2）證明點(diǎn)A在直線l上，并求∠OAB的度數(shù)；
（3）動(dòng)點(diǎn)Q在拋物線的對(duì)稱軸上，在對(duì)稱軸左側(cè)的拋物線上是否存在點(diǎn)P，使以P、Q、A為頂點(diǎn)的三角形與△OAB全等？若存在，求出m的值，并寫出所有符合上述條件的P點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)頂點(diǎn)式拋物線解析式即可得出拋物線的對(duì)稱軸為x=m，頂點(diǎn)坐標(biāo)A（m，0）；
（2）將A點(diǎn)的坐標(biāo)代入直線l的解析式中即可判定出點(diǎn)A是否在直線l上．
根據(jù)題意不難得出OA=m，OB=m，據(jù)此可求出∠OAB的正切值，進(jìn)而可求出∠OAB的度數(shù)；
（3）本題要分四種情況進(jìn)行討論：
①當(dāng)∠AQP=90°，∠QAP=60°，m=3，P點(diǎn)的坐標(biāo)為（3-3，-3）；
②當(dāng)∠AQP=90°，∠QPA=60°，m=，P點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，-3）；
③當(dāng)∠APQ=90°，∠QAP=60°，m=，P點(diǎn)的坐標(biāo)為（，-）；
④當(dāng)∠APQ=90°，∠AQP=60°，m=，因此P點(diǎn)的坐標(biāo)為（-，-）．
解答：解：（1）對(duì)稱軸為直線x=m，頂點(diǎn)A（m，0）；

（2）把x=m代入函數(shù)y=x-m，
得y=m-m=0
∴點(diǎn)A（m，0）在直線l上．
當(dāng)x=0時(shí)，y=-m
∴B（0，-m），tan∠OAB=
∴∠OAB=60°；

（3）①當(dāng)∠AQP=90°，∠QAP=60°，AQ=OA=m，PQ=OB=m
，因此P點(diǎn)坐標(biāo)為（m-m，-m），
將P點(diǎn)的坐標(biāo)代入拋物線的解析式可得m=，
因此P點(diǎn)的坐標(biāo)為（，-）．
②當(dāng)∠AQP=90°，∠QPA=60°，此時(shí)P，B重合，
因此P點(diǎn)坐標(biāo)為（0，-m），
代入拋物線解析式得m=，因此P點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，-3）．
③當(dāng)∠APQ=90°，∠QAP=60°，PA=m，過P作PC⊥AQ于C，
那么PC=AP•sin60°=m，AC=m，
因此P點(diǎn)的坐標(biāo)為（m-m，-m）．
代入拋物線得m=，因此P點(diǎn)的坐標(biāo)為（，-）；
④當(dāng)∠APQ=90°，∠AQP=60°，PA=OB=m，
過P作PD⊥AQ于D，
那么PD=AP•sin30°=m，AD=m，
因此P點(diǎn)的坐標(biāo)為（m-m，-m），
代入拋物線得m=，
因此P點(diǎn)的坐標(biāo)為（，-1）．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)及全等三角形的判定等知識(shí)點(diǎn)，（3）在不確定全等三角形的對(duì)應(yīng)角和對(duì)應(yīng)邊的情況下要分類討論．