Question

在直角坐標系xoy中，一次函數(shù)y=

3 2

2

x-3的圖象與x軸、y軸分別交于點B和點A，點C的坐標是（0，1），點D在y軸上且滿足∠BCD=∠ABD．求D點的坐標．

Answer 1

分析：先根據(jù)一次函數(shù)的解析式求出點A及點B的坐標，利用勾股定理解出線段BC、AB的坐標，分一下三種情況進行討論，（1）若D點在C點上方時，（2）若D點在AC之間時，（3）若D點在A點下方時，每一種情況下求出點D的坐標即可．

解答：解：∵A、B是直線與y軸、x軸的交點，
令y=0，解得x=

2

，
∴B=(

2

，0)；
令x=0，解得y=-3，
∴A（0，-3）；
由勾股定理得，BC=

3

，AB=

11

，
（1）若D點在C點上方時，則∠BCD為鈍角，
∵∠BCD=∠ABD，又∠CDB=∠ADB，
∴△BCD∽△ABD，
∴

BD

AD

=

BC

AB

=

CD

BD

，
設(shè)D（0，y），則y＞1，
∵BD=

y2+2

，CD=y-1，
∴

y2+2

y+3

=

y-1

y2+2

=

3

11

，
∴8y²-22y+5=0，
解得y1=

5

2

或y2=

1

4

（舍去），
∴點D的坐標為（0，

5

2

），
（2）若D點在AC之間時，則∠BCD為銳角，
∵∠ABD=∠BCD，又∠BAD=∠CAB，
∴△ABD∽△ACB，∴

BD

BC

=

AD

AB

=

AB

AC

，
設(shè)D（0，y），則-3＜y＜1，又BD=

y2+2

，AD=y+3，
∴

y2+1

3

=

y+3

11

，
整理得8y²-18y-5=0，
解得y1=-

1

4

或y2=

5

2

（舍去），
∴D點坐標為（0，-

1

4

）；
（3）若D點在A點下方時，有∠BAC=∠ABD+∠ADB＞∠ABD，
又顯然∠BAC＜∠BCD，
∴D點在A點下方是不可能的．
綜上所述，D點的坐標為（0，

5

2

）或（0，-

1

4

）．

點評：此題考查了一次函數(shù)的綜合應(yīng)用及坐標與圖形的性質(zhì)，綜合性較強，解答本題容易出錯的地方時遺漏點D的位置，難點在于每一種情況下求出點D的坐標，難度較大．