Question

16、在等腰△ABC中，AB=AC．
（1）若M是BC的中點，過M任作一直線交AB，AC（或其延長線）于D，E，求證：2AB＜AD+AE．
（2）若P是△ABC內(nèi)一點，且PB＜PC，求證：∠APB＞∠APC．

Answer 1

分析：（1）過B點作BF∥AC，交DE于F，利用旋轉(zhuǎn)法證明△BFM≌△CEM，利用全等三角形對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊相等，得出∠BFM=∠C＜90°為銳角，從而得出∠BFD為鈍角，在△BDF中，利用大角對大邊，得出BF＜BD，再將有關(guān)線段進行轉(zhuǎn)化，比較大��；
（2）利用旋轉(zhuǎn)法作△ACP′≌△ABP，根據(jù)全等三角形對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊相等，將問題轉(zhuǎn)化到△CPP′中，得出CP′=BP＜PC，再利用大邊對大角，比較大�。�

解答：證明：（1）如圖，過B點作BF∥AC，交DE于F，
∵BM=MC，
∴△BFM≌△CEM，
∴BF=CE，∠BFM=∠C＜90°，
∴∠BFD=180°-∠BFM＞90°，
∴在△BDF中，BF＜BD，
∴2AB=AB+AC=AD-BD+AE+CE=AD+AE-（BD-BF）＜AD+AE．

（2）如圖，在△ABC外作△ACP′，使AP′=AP，∠P′AC=∠PAB，連接PP′，
∵AB=AC，
∴△ACP′≌△ABP，
∴∠AP′C=∠APB，CP′=BP，
在△CPP′中，CP′=BP＜PC，
∴∠PP′C＞P′PC，
∴∠PP′C+∠AP′P＞P′PC+∠APP′，
即∠AP′C＞∠APC，
∴∠APB＞∠APC．

點評：本題考查了旋轉(zhuǎn)法在證明幾何問題中的作用．關(guān)鍵是根據(jù)旋轉(zhuǎn)將條件集中到一個三角形中，利用三角形的性質(zhì)證題．