Question

10．如圖，在等邊三角形ABC中，點D，E分別是在邊AB，AC上，DE∥BC，點F在DE的延長線上，且FC=EC．
（1）求證：△ADF≌△EAB；
（2）點G在BC邊上，若FG∥EB，求∠AGF的度數(shù)．

Answer 1

分析 （1）先證△BDE≌△FEA，得出BE=FA，∠BED=∠FAE，再利用角的關系，找到∠AEB=∠DAF，從而能夠證出△ADF≌△EAB；
（2）利用（1）中的三角形全等，得出BE=FA，∠DBE=∠EFA，利用角的關系找到∠AFG=60°，借助兩組對邊平行的四邊形為平行四邊形，可得出BE=GF，等腰三角形中頂角為60°則此三角形為等邊三角形，得出結論．

解答 （1）證明：連接FC，如圖，

∵DE∥BC，且△ABC為等邊三角形，
∴∠ADE=∠ABC=60°，∠AED=∠ACB=60°，AB=BC=CA
∴△ADE為等邊三角形，AD=DE=AE，
∵FC=EC，∠CEF=∠AED=60°（對頂角），
∴△ECF為等邊三角形，EC=FC=EF，
∵BD=AB-AD，EC=AC-AE，
∴BD=CE=EF，
∠BDE=180°-∠ADE=120°，∠FEA=180°-∠AED=120°，
∴∠BDE=∠FEA，
在△BDE和△FEA中，$\left\{\begin{array}{l}{BD=FE}\\{∠BDE=∠FEA}\\{DE=EA}\end{array}\right.$，
∴△BDE≌△FEA，
∴BE=FA，∠BED=∠FAE，
∠AEB=∠AED+∠BED，∠DAF=∠DAE+∠FAE，
∴∠AEB=∠DAF，
在△ADF和△EAB中，$\left\{\begin{array}{l}{DA=AE}\\{∠AEB=∠DAF}\\{BE=FA}\end{array}\right.$，
∴△ADF≌△EAB（SAS），
證畢．
（2）解：∵EF∥BG，F(xiàn)G∥EB，
∴四邊形BGFE為平行四邊形，
∴BE=GF，∠EBG=∠EFG，
∵△BDE≌△FEA，
∴∠DBE=∠EFA，
∵∠DBE+∠EBG=∠ABC=60°，
∴∠EFA+∠EFG=60°，
∵BE=FA=GF，
∴△AGF為等邊三角形，
∴∠AGF=60°．

點評 本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)定理以及平行四邊形的判定和性質(zhì)定理，解題的關鍵是結合圖形，一步步的尋找相等的量．