Question

已知：如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，一次函數(shù)y=-x的圖象與反比例函數(shù)的圖象交于A、B兩點(diǎn)．
（1）求k的值；
（2）如果點(diǎn)P在y軸上，且滿足以點(diǎn)A、B、P為頂點(diǎn)的三角形是直角三角形，直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】分析：（1）首先求出A點(diǎn)坐標(biāo)，再把A點(diǎn)坐標(biāo)代入y=即可得到k的值；
（2）BD⊥y軸，AC⊥y軸，如圖，設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為（0，y），先根據(jù)對(duì)稱得到B點(diǎn)坐標(biāo)為（1，-1），再根據(jù)勾股定理得到AB²=2²+2²=8，PB²=PD²+BD²=（y+1）²+1²，PA²=PC²+AC²=（y-1）²+1²，然后分類討論：當(dāng)△APB是以AB為斜邊的直角三角形，則PB²+PA²=AB²；當(dāng)△APB是以PB為斜邊的直角三角形，則AB²+PA²=PB²；當(dāng)△APB是以PA為斜邊的直角三角形，AB²+PB²=PA²，分別得到關(guān)于y的方程，解方程求出y的值即可得到P點(diǎn)坐標(biāo)．
解答：解：（1）∵一次函數(shù)y=-x的圖象與反比例函數(shù)的圖象交于A、B兩點(diǎn)，
根據(jù)圖象可得出A點(diǎn)橫坐標(biāo)為-1，代入一次函數(shù)解析式，
∴y=-（-1）=1，
∴A點(diǎn)坐標(biāo)為：（-1，1），
∵反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)A（-1，1），
∴k=-1×1=-1；

（2）作BD⊥y軸，AC⊥y軸，如圖，設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為（0，y），
∵點(diǎn)A與B點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，
∴B點(diǎn)坐標(biāo)為（1，-1），
∴AB²=2²+2²=8，PB²=PD²+BD²=（y+1）²+1²，PA²=PC²+AC²=（y-1）²+1²，
分類：當(dāng)△APB是以AB為斜邊的直角三角形，則PB²+PA²=AB²，
∴PB²+PA²=AB²，即（y+1）²+1²+（y-1）²+1²=8，解得y=±；
當(dāng)△APB是以PB為斜邊的直角三角形，
∴AB²+PA²=PB²，即（y+1）²+1²=（y-1）²+1²+8，解得y=2；
當(dāng)△APB是以PA為斜邊的直角三角形，
∴AB²+PB²=PA²，即（y-1）²+1²=（y+1）²+1²+8，解得y=-2；
∴P點(diǎn)坐標(biāo)為（0，）、（0，-）、（0，2）、（0，-2）．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問題：反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)坐標(biāo)滿足兩函數(shù)的解析式．也考查了勾股定理以及分類討論思想的運(yùn)用．