Question

如圖，在直角三角形PMN中，∠MPN=90°，PM=PN=6 cm，矩形ABCD的長和寬分別為6 cm和3 cm，C點和P點重合，BC和PN在一條直線上．令Rt△PMN不動，矩形ABCD向右以每秒1 cm的速度移動，直到C點與N點重合為止．設移動x秒后，矩形ABCD與△PMN重合部分的面積為y cm²．
（1）求y與x之間的函數(shù)關系式；
（2）求重合部分面積的最大值．

Answer 1

分析：（1）矩形的右移過程中，它和Rt△PMN之間重疊部分有兩種情況：
①當C由P點移動到G點，D點落在MN上的F點的過程中，重疊部分的圖形是矩形，此時只要根據(jù)矩形的面積公式計算重疊部分的面積即可．根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)不難判斷出x的取值范圍0＜x≤3．
②當3＜x≤6時，則重疊部分是五邊形，這時只要用大三角形的面積減去兩個小三角形的面積即可．
（2）根據(jù)y與x之間的表達式可直接判斷出重合部分面積的最大值．

解答：解：（1）在矩形的右移過程中，它和Rt△PMN之間重疊部分有兩種情況：（1分）
①如圖1，當C由P點移動到G點，D點落在MN上的F點的過程中，重疊部分的圖形是矩形，
由于△MPN是等腰Rt△，
所以△MEF也是等腰Rt△．（2分）
PC=x，MP=6，EF=ME=3
∴y=PC•CD=3x（O≤x≤3）（3分）
②如圖2，當C是由G點移動到N點的過程中，即3＜x≤6時，設CD與MN交于點Q，則重疊部分是五邊形EFQCP△NCQ是等腰Rt△（4分）
y=-

1

2

（x-6）²+

27

2

（3＜x≤6）
∴y與x之間的函數(shù)關系式為
y=

3x(0≤x≤3) - 1 2 (x-6)2+ 27 2 (3＜x≤6)

（2）當x=6時（即c與N重合時），y取得最大值（即重疊部分面積最大），其值為

27

2

．
另解：直接由圖形知當C與N重合時，該重疊部分面積最大，而此時重疊部分為梯形EPNF，可求得S_梯形EPNF=

27

2

．

點評：此題比較簡單，解答此題的關鍵是注意矩形在移動過程中的兩種情形，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)計算x的取值范圍．