Question

有四個同樣大小邊長為a的六角螺母如圖所示排列，則圖中三角形ABC的面積等于

 

．

Answer 1

分析：設(shè)四個正六邊形的邊長是a，再分別以AB、BC、AC為邊構(gòu)造出直角三角形，利用勾股定理判斷出△ABC的形狀，再根據(jù)三角形的面積公式即可解答．

解答：解：設(shè)四個正六邊形的邊長是a，連接AD，BE，CF，AK并延長，使AK與CF相交于點G，BE的延長線與FC的延長線相交于點F，
∵這四個六角螺母是大小相等的正六邊形，
∴∠AHD=120°，AH=DH，
∴∠ADH=

180°-∠AHD

2

=

180°-120°

2

=30°，
∴∠ADB=∠BDH-∠ADH=120°-30°=90°，
∴△ABD是直角三角形，
同理可得△ALN是等腰三角形，
過L作LM⊥AD，則AD=4AM=4AM•cos∠MAL=4×

3

2

a=2

3

a，
∴AB=

AD2+BD2

=

(2 3 a)2+a2

=

13

a；
同理可知，BC=AC=AB=

13

a，即△ABC是等邊三角形，
∴S_△ABC=

1

2

BC×

3

BC=

3

2

a²．

點評：本題考查的是面積及等積變換，解答此題的關(guān)鍵是熟知正六邊形的特點、等邊三角形及等腰三角形的性質(zhì)、勾股定理的相關(guān)知識．