Question

【題目】如圖，ABCD為平行四邊形，DFEC和BCGH為正方形．求證：AC⊥EG．

Answer 1

【答案】證明：∵四邊形BCGH、EFDC為正方形，四邊形ABCD為平行四邊形， ∴GC∥BH，DC∥AB，∠HBC=∠ECD=90°，
∴∠HBA=∠GCD（兩邊分別平行的兩角相等或互補(bǔ)），
∴∠HBC+∠HBA=∠GCD+∠ECD，即90°+∠HBA=∠GCD+90°，
∴∠GCE=∠ABC，
∴AB=DC=EC，BC=CG，
在△ABC和和△ECG中，
，
∴△ABC≌△ECG（SAS），
∴∠CGE=∠ACB，
∵∠ACB+∠GCA=90°，
∴∠CGE+∠GCA=90°，
∴AC⊥EG．

【解析】本題中要證AC⊥EG也就是證∠CGE+∠GCA=90°，我們發(fā)現(xiàn)∠GBA+∠ACB=90°，因此證明∠CGE=∠ACB就是問題的關(guān)鍵，我們可通過證明三角形ABC和ECG全等來實(shí)現(xiàn)．
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)和正方形的性質(zhì)的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，需要掌握平行四邊形的對(duì)邊相等且平行；平行四邊形的對(duì)角相等，鄰角互補(bǔ)；平行四邊形的對(duì)角線互相平分；正方形四個(gè)角都是直角，四條邊都相等；正方形的兩條對(duì)角線相等，并且互相垂直平分，每條對(duì)角線平分一組對(duì)角；正方形的一條對(duì)角線把正方形分成兩個(gè)全等的等腰直角三角形；正方形的對(duì)角線與邊的夾角是45o；正方形的兩條對(duì)角線把這個(gè)正方形分成四個(gè)全等的等腰直角三角形才能正確解答此題．