Question

（2013•舟山）小明在做課本“目標與評定”中的一道題：如圖1，直線a，b所成的角跑到畫板外面去了，你有什么辦法量出這兩條直線所成的角的度數？

（1）①請幫小明在圖2的畫板內畫出你的測量方案圖（簡要說明畫法過程）；
     ②說出該畫法依據的定理．
（2）小明在此基礎上進行了更深入的探究，想到兩個操作：
①在圖3的畫板內，在直線a與直線b上各取一點，使這兩點與直線a、b的交點構成等腰三角形（其中交點為頂角的頂點），畫出該等腰三角形在畫板內的部分．
②在圖3的畫板內，作出“直線a、b所成的跑到畫板外面去的角”的平分線（在畫板內的部分），只要求作出圖形，并保留作圖痕跡．
請你幫小明完成上面兩個操作過程．（必須要有方案圖，所有的線不能畫到畫板外，只能畫在畫板內）

Answer 1

分析：（1）方法一：利用平行線的性質；方法二：利用三角形內角和定理；
（2）首先作等腰三角形△PBD，然后延長BD交直線a于點A，則ABPQ就是所求作的圖形．作圖依據是等腰三角形的性質與平行線的性質；
（3）作出線段AB的垂直平分線EF，由等腰三角形的性質可知，EF是頂角的平分線，故EF即為所求作的圖形．

解答：解：（1）方法一：
①如圖2，畫PC∥a，量出直線b與PC的夾角度數，
即為直線a，b所成角的度數，
②依據：兩直線平行，同位角相等，
方法二：
①如圖2，在直線a，b上各取一點A，B，連結AB，測得∠1，∠2的度數，
則180°-∠1-∠2即為直線a，b所成角的度數；
②依據：三角形內角和為180°；

（2）如圖3，以P為圓心，任意長為半徑畫弧，分別交直線b，PC于點B，D，連結BD并延長交直線a于點A，則ABPQ就是所求作的圖形；

（3）如圖3，作線段AB的垂直平分線EF，則EF就是所求作的線．

點評：本題涉及到的幾何基本作圖包括：（1）過直線外一點作直線的平行線，（2）作線段的垂直平分線；涉及到的考點包括：（1）平行線的性質，（2）等腰三角形的性質，（3）三角形內角和定理，（4）垂直平分線的性質等．本題借助實際問題場景考查了學生的幾何基本作圖能力，是一道好題．題目篇幅較長，需要仔細閱讀，理解題意，正確作答．