Question

【題目】如圖，在四邊形ABCD中，E、F、G、H分別是AB、BC、CD、DA邊上的中點，連結AC、BD，回答問題

（1）對角線AC、BD滿足條件_____時，四邊形EFGH是矩形．

（2）對角線AC、BD滿足條件_____時，四邊形EFGH是菱形．

（3）對角線AC、BD滿足條件_____時，四邊形EFGH是正方形．

Answer 1

【答案】AC⊥BD AC＝BD AC⊥BD且AC＝BD

【解析】

先證明四邊形EFGH是平行四邊形，

（1）在已證平行四邊形的基礎上，要使所得四邊形是矩形，則需要一個角是直角，故對角線應滿足互相垂直

（2）在已證平行四邊形的基礎上，要使所得四邊形是菱形，則需要一組鄰邊相等，故對角線應滿足相等

（3）聯(lián)立（1）（2），要使所得四邊形是正方形，則需要對角線垂直且相等

解：連接AC、BD．

∵E、F、G、H分別是AB、BC、CD、DA邊上的中點，

∴EF∥AC，EF＝AC，FG∥BD，FG＝BD，GH∥AC，GH＝AC，EH∥BD，EH＝BD．

∴EF∥HG，EF＝GH，FG∥EH，FG＝EH．

∴四邊形EFGH是平行四邊形；

（1）要使四邊形EFGH是矩形，則需EF⊥FG，

由（1）得，只需AC⊥BD；

（2）要使四邊形EFGH是菱形，則需EF＝FG，

由（1）得，只需AC＝BD；

（3）要使四邊形EFGH是正方形，綜合（1）和（2），

則需AC⊥BD且AC＝BD．

故答案是：AC⊥BD；AC＝BD；AC⊥BD且AC＝BD