Question

在△ABC中，∠BAC=90°，∠ABC=60°，AB=2，AD是BC邊上的高線，過點C，D的⊙O交AC于點E，連接BE交⊙O于點F．
（1）求BF•BE的值；
（2）設AE=x，用x的代數(shù)式表示△BDF的面積；
（3）如果△BDF的面積是，求tan∠ABE的值．

Answer 1

解：（1）在Rt△ABC中，AD⊥BC，由射影定理得：
BD•BC=AB²=4；
由切割線定理得：BD•BC=BF•BE，即BF•BE=4．

（2）在Rt△ABC中，AB=2，∠ABC=60°，
則：AD=，AC=2，BD=1，BC=4；
過E作EM⊥BC于M，則△CEM∽△CAD，
∴EM：AD=CE：CA=（2-x）：2，
∴S_△ACE：S_△ABC=EM：AD=（2-x）：2，
∵S_△ABC=BC•AD=2，∴S_△ACE=2-x；
連接DF，∵四邊形CDFE是圓的內(nèi)接四邊形，
∴∠BFD=∠C，又∵∠FBD=∠CBE，
∴△FBD∽△CBE，
∴=，
其中，BD²=1，BE²=4+x²，S_△ACE=2-x，
∴S_△BDF=．

（3）當△BDF的面積是時，=，
化簡得：x²+7x-10=0，解得x=，x=-（不合題意舍去），
∴tanABE==．
分析：（1）由切割線定理知：BD•BC=BF•BE，那么必須先求出BD•BC的值，在Rt△ABC中，AD⊥BC，由射影定理得：BD•BC=AB²，由此得解．
（2）過E作EM⊥BC于M，通過相似三角形△CEM、△CAD，可求得EM、AD的比例關系，而△ABC、△EBC同底不等高，它們的面積比等于高的比，即EM、AD的比，△ABC的面積易求得，即可得到△EBC的面積表達式；在Rt△BAE中，利用勾股定理易求得BE的表達式，可證△BFD∽△BCE，它們的面積比等于相似比的平方，即（BE：BD）的平方，BD的值易求得，即可得到△BDF的表達式．
（3）將△BDF的面積代入（2）題所得的代數(shù)式中，即可求出x的值，進而可在Rt△ABE中求出∠ABE的正切值．
點評：本題主要考查的是切割線定理，切線的性質(zhì)定理，勾股定理，三角函數(shù)和相似三角形的性質(zhì)．難點在于第（2）問，熟練掌握三角形面積的求法是解答此題的關鍵．