Question

【題目】如圖，在△ABC中，點(diǎn)B，C是x軸上的兩個(gè)定點(diǎn)，∠ACB=90°，AC=BC，點(diǎn)A（l，3），點(diǎn)P是x軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，在△PEF中，∠PEF=90°，PE=EF

（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)P與坐標(biāo)原點(diǎn)重合時(shí)：①求證△PCE≌△FBE；②求點(diǎn)F的坐標(biāo)；
（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)P在線段CB上時(shí)，求證S△CPE=S△AEF
（3）如圖3，當(dāng)點(diǎn)P在線段CB的延長線時(shí)，若S△AEF=4S△PBE則此刻點(diǎn)F的坐標(biāo)為

Answer 1

【答案】
（1）

證明：如圖1中，

①∵A（1，3），B（4，0），

∴AC=BC=3，△ACB是等腰直角三角形，

∵AE=EB，

∴CE=AE=EB，CE⊥AB，∠ECB=∠EBC=45°，

∴∠CEB=∠OEF=90°，∠ECO=135°，

∴∠OEC=∠FEB，∵OE=EF，EC=EB，

∴△EOC≌△EFB，即△PCE≌△FBE．．

②∵△PCE≌△FBE．

∴OC=BF=1，∠EBF=∠OCE=135°，

∴∠OBF=90°，

∴BF⊥OB，

∴F（4，﹣1）

（2）

證明：如圖2中，作PM⊥CE于M，F(xiàn)N⊥EB于N．

由（1）可知∠OEC=∠FEB，OE=EF，EC=EB，

∴△ECP≌△EBF，

∵PM⊥CE于M，F(xiàn)N⊥EB于N，

∴PM=FN（全等三角形對(duì)應(yīng)邊上的高相等），

∵S△CPE= CEPM，S△AEF= AEFN，

∵CE=AE，PM=NF，

∴S△CPE=S△AEF

（3）（4，4）
【解析】（3）解：如圖3中，

由（2）可知△ECP≌△EBF，推出PC=BF，BF⊥CP，
∵S△CPE=S△AEF ， S△AEF=4S△PBE ，
∴S△CPE=4S△PBE ，
∴PC=4PB，
∴BC=3PB，PB=1，PC=4，
∴BF=PC=4，
∴點(diǎn)F坐標(biāo)為（4，4）．
所以答案是（4，4）．
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解全等三角形的性質(zhì)的相關(guān)知識(shí)，掌握全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等; 全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等．