如圖,已知直線y=x與雙曲線交于A,B兩點(diǎn),且點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為4.
(1)求k的值;
(2)若雙曲線上一點(diǎn)C的縱坐標(biāo)為8,求△AOC的面積;
(3)過(guò)原點(diǎn)O的另一條直線l交雙曲線于P,Q兩點(diǎn)(P點(diǎn)在第一象限),若由點(diǎn)A,B,P,Q為頂點(diǎn)組成的四邊形面積為24,求點(diǎn)P的坐標(biāo).
【答案】分析:(1)先根據(jù)直線的解析式求出A點(diǎn)的坐標(biāo),然后將A點(diǎn)坐標(biāo)代入雙曲線的解析式中即可求出k的值;
(2)由(1)得出的雙曲線的解析式,可求出C點(diǎn)的坐標(biāo),由于△AOC的面積無(wú)法直接求出,因此可通過(guò)作輔助線,通過(guò)其他圖形面積的和差關(guān)系來(lái)求得.(解法不唯一);
(3)由于雙曲線是關(guān)于原點(diǎn)的中心對(duì)稱(chēng)圖形,因此以A、B、P、Q為頂點(diǎn)的四邊形應(yīng)該是平行四邊形,那么△POA的面積就應(yīng)該是四邊形面積的四分之一即6.可根據(jù)雙曲線的解析式設(shè)出P點(diǎn)的坐標(biāo),然后參照(2)的三角形面積的求法表示出△POA的面積,由于△POA的面積為6,由此可得出關(guān)于P點(diǎn)橫坐標(biāo)的方程,即可求出P點(diǎn)的坐標(biāo).
解答:解:(1)∵點(diǎn)A橫坐標(biāo)為4,
把x=4代入y=x中
得y=2,
∴A(4,2),
∵點(diǎn)A是直線y=x與雙曲線y=(k>0)的交點(diǎn),
∴k=4×2=8;

(2)解法一:如圖,
∵點(diǎn)C在雙曲線上,
當(dāng)y=8時(shí),x=1,
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為(1,8).
過(guò)點(diǎn)A、C分別做x軸、y軸的垂線,垂足為M、N,得矩形DMON.
∵S矩形ONDM=32,S△ONC=4,S△CDA=9,S△OAM=4.
∴S△AOC=S矩形ONDM-S△ONC-S△CDA-S△OAM=32-4-9-4=15;

解法二:如圖,
過(guò)點(diǎn)C、A分別做x軸的垂線,垂足為E、F,
∵點(diǎn)C在雙曲線上,
當(dāng)y=8時(shí),x=1,
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為(1,8).
∵點(diǎn)C、A都在雙曲線上,
∴S△COE=S△AOF=4,
∴S△COE+S梯形CEFA=S△COA+S△AOF
∴S△COA=S梯形CEFA
∵S梯形CEFA=×(2+8)×3=15,
∴S△COA=15;

(3)∵反比例函數(shù)圖象是關(guān)于原點(diǎn)O的中心對(duì)稱(chēng)圖形,
∴OP=OQ,OA=OB,
∴四邊形APBQ是平行四邊形,
∴S△POA=S平行四邊形APBQ×=×24=6,
設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m(m>0且m≠4),
得P(m,),
過(guò)點(diǎn)P、A分別做x軸的垂線,垂足為E、F,
∵點(diǎn)P、A在雙曲線上,
∴S△POE=S△AOF=4,
若0<m<4,如圖,
∵S△POE+S梯形PEFA=S△POA+S△AOF,
∴S梯形PEFA=S△POA=6.
(2+)•(4-m)=6.
∴m1=2,m2=-8(舍去),
∴P(2,4);

若m>4,如圖,
∵S△AOF+S梯形AFEP=S△AOP+S△POE
∴S梯形PEFA=S△POA=6.
(2+)•(m-4)=6,
解得m1=8,m2=-2(舍去),
∴P(8,1).
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)是P(2,4)或P(8,1).
點(diǎn)評(píng):本題考查反比例解析式的確定和性質(zhì)、圖形的面積求法、函數(shù)圖象交點(diǎn)等知識(shí)及綜合應(yīng)用知識(shí)、解決問(wèn)題的能力.難點(diǎn)是不規(guī)則圖形的面積通常轉(zhuǎn)化為規(guī)則圖形的面積的和差來(lái)求解.
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

16、如圖,已知直線AB和CD相交于點(diǎn)O,∠COE是直角,OF平分∠AOE.
(1)寫(xiě)出∠AOC與∠BOD的大小關(guān)系:
相等
,判斷的依據(jù)是
等角的補(bǔ)角相等

(2)若∠COF=35°,求∠BOD的度數(shù).

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

5、如圖,已知直線l1∥l2,AB⊥CD,∠1=30°,則∠2的度數(shù)為( 。

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

精英家教網(wǎng)如圖,已知直線l1y=
2
3
x+
8
3
與直線 l2:y=-2x+16相交于點(diǎn)C,直線l1、l2分別交x軸于A、B兩點(diǎn),矩形DEFG的頂點(diǎn)D、E分別在l1、l2上,頂點(diǎn)F、G都在x軸上,且點(diǎn)G與B點(diǎn)重合,那么S矩形DEFG:S△ABC=
 

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

(2013•懷化)如圖,已知直線a∥b,∠1=35°,則∠2=
35°
35°

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

如圖,已知直線m∥n,則下列結(jié)論成立的是(  )

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊(cè)答案