Question

小華看著電視里的舞蹈節(jié)目：七個(gè)身穿不同民族服裝的舞蹈演員正在面對(duì)觀眾進(jìn)行隊(duì)列變換，他陷入了沉思：這7個(gè)演員面對(duì)觀眾一共會(huì)有幾種隊(duì)列變換呢？…為了解決這一問題，他是這樣思考和探索的：
①若只有一個(gè)演員A，那就只有隊(duì)列變換A，共1種；
②若有二個(gè)演員A、B，那就有隊(duì)列變換：AB和BA，共2種；
③若有三個(gè)演員A、B、C，那就有隊(duì)列變換：ABC、ACB、BAC、BCA、CAB、CBA，共6種；
④若有四個(gè)演員A、B、C、D，那就有隊(duì)列變換（小華把這四個(gè)字母在紙上不停的變換順序地排列著、寫著）…數(shù)數(shù)看，哇！有24種，變化如此之快呀，五個(gè)、六個(gè)、七個(gè)演員呢？看來不可再強(qiáng)攻，否則就…，還是智取吧…
通過查閱資料，小華發(fā)現(xiàn)了如下的材料：
材料：從m個(gè)人中選出n人排成一列的所有排列方法總數(shù)（下均簡(jiǎn)稱排列數(shù)）記為A

n m

=m×（m-1）×（m-2）×…×（m-n+1），特別地當(dāng)m=n時(shí)即從m個(gè)人中選出m個(gè)人進(jìn)行全排列為A

m m

=m×（m-1）×（m-2）×…×2×1
再應(yīng)用表格吧，記得書上有這樣的例子，老師也曾示范過，它能更加清楚地反映其中的數(shù)字規(guī)律呢？

演員的個(gè)數(shù)	1	2	3	4	…
可能有的變換數(shù)	1	2	6	24	…

（1）求A

2 5

和A

3 3

的值？
（2）計(jì)算這7個(gè)舞蹈演員面對(duì)觀眾一共會(huì)有幾種隊(duì)列變換？
（3）6個(gè)人排成一列，其中甲排最前面，同時(shí)乙排最后面的概率是多少？

Answer 1

分析：（1）根據(jù)從m個(gè)人中選出n人排成一列的所有排列方法總數(shù)記為A

n m

=m×（m-1）×（m-2）×…×（m-n+1），可知A

2 5

是從5個(gè)人中選出2人排成一列的所有排列方法總數(shù)，即為5×4=20；同理得出A

3 3

=3×2×1=6；
（2）根據(jù)已知得出7個(gè)舞蹈演員跳舞，面對(duì)觀眾作隊(duì)形變化的規(guī)律是7×6×5×4×3×2×1；
（3）先求出6個(gè)人排成一列的所有排列方法總數(shù)，再求出甲排最前面，同時(shí)乙排最后面的排列方法總數(shù)，然后根據(jù)概率公式求解．

解答：解：（1）A

2 5

=5×4=20，A

3 3

=5×4×3=60；

（2）∵7個(gè)舞蹈演員跳舞，
∴面對(duì)觀眾作隊(duì)列變換的情況有：7×6×5×4×3×2×1=5040；

（3）∵6個(gè)人排成一列，不管甲乙的位置，總的排法是從6個(gè)人里面選出6個(gè)人進(jìn)行全排列

A

6 6

=6×5×4×3×2×1=720，
其中甲排最前面，同時(shí)乙排最后面，相當(dāng)于是4個(gè)人在排

A

4 4

=4×3×2×1=24，
∴6個(gè)人排成一列，其中甲排最前面，同時(shí)乙排最后面的概率是

24

720

=

1

30

．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了規(guī)律性問題以及可能性大小有關(guān)知識(shí)，得出面對(duì)觀眾作隊(duì)列變換的規(guī)律是解決問題的關(guān)鍵．