Question

已知拋物線y＝ax²＋bx＋c經(jīng)過(guò)A(－1，0)、B(3，0)、C(0，3)三點(diǎn)，直線l是拋物線的對(duì)稱軸．

(1)求拋物線的函數(shù)關(guān)系式；
(2)設(shè)點(diǎn)P是直線l上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)△PAC的周長(zhǎng)最小時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)，并求出此時(shí)的周長(zhǎng)；
(3)在直線l上是否存在點(diǎn)M，使△MAC為直角三角形？若存在，請(qǐng)寫(xiě)出所有符合條件的點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

（1）y＝－x²＋2x＋3；（2）P（1,2），；（3）.M(1，)(1，－)(1，1)(1，0)．

解析試題分析：(1)直接將A、B、C三點(diǎn)坐標(biāo)代入拋物線的解析式中求出待定系數(shù)即可．
(2)由圖知：A、B點(diǎn)關(guān)于拋物線的對(duì)稱軸對(duì)稱，那么根據(jù)拋物線的對(duì)稱性以及兩點(diǎn)之間線段最短可知：若連接BC，那么BC與直線l的交點(diǎn)即為符合條件的P點(diǎn)．
(3)由于△MAC的腰和底沒(méi)有明確，因此要分三種情況來(lái)討論：①M(fèi)A＝AC、②MA＝MC、②AC＝MC；可先設(shè)出M點(diǎn)的坐標(biāo)，然后用M點(diǎn)縱坐標(biāo)表示△MAC的三邊長(zhǎng)，再按上面的三種情況列式求解．
試題解析：(1)將A(－1，0)、B(3，0)、C(0，3)代入拋物線y＝ax²＋bx＋c中，得：
，解得：
∴拋物線的解析式：y＝－x²＋2x＋3．
（2）y＝－x²＋2x＋3的對(duì)稱軸x=1，設(shè)點(diǎn)P為（1，p）
因?yàn)閷?duì)稱軸垂直平分AB，所以：PA=PB.
△PAC的周長(zhǎng)=AC+PC+PA=AC+PC+PB
其中
當(dāng)點(diǎn)B、P和C三點(diǎn)共線時(shí)，PC+PB存在最小值：

直線BC：y=-x+3，點(diǎn)P在直線BC上：p=-1+3=2
所以點(diǎn)P為（1,2），此時(shí)△PAC的周長(zhǎng)最小值為
(3)拋物線的解析式為：x＝－＝1，設(shè)M(1，m)，已知A(－1，0)、C(0，3)，則：
MA²＝m²＋4，MC²＝m²－6m＋10，AC²＝10；
①若MA＝MC，則MA²＝MC²，得：
m²＋4＝m²－6m＋10，得：m＝1；
②若MA＝AC，則MA²＝AC²，得：
m²＋4＝10，得：m＝±；
③若MC＝AC，則MC²＝AC²，得：
m²－6m＋10＝10，得：m＝0，m＝6；
當(dāng)m＝6時(shí)，M、A、C三點(diǎn)共線，構(gòu)不成三角形，不合題意，故舍去；
綜上可知，符合條件的M點(diǎn)，且坐標(biāo)為 M(1，)(1，－)(1，1)(1，0)．

考點(diǎn): 二次函數(shù)綜合題.