Question

如圖，Rt△ABC的兩條直角邊AB=4cm，AC=3cm，點(diǎn)D沿AB從A向B運(yùn)動(dòng)，速度是1cm/秒，同時(shí)，點(diǎn)E沿BC從B向C運(yùn)動(dòng)，速度為2cm/秒．動(dòng)點(diǎn)E到達(dá)點(diǎn)C時(shí)運(yùn)動(dòng)終止．連接DE、CD、AE．
（1）當(dāng)動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)幾秒時(shí)，△BDE與△ABC相似？
（2）設(shè)動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)t秒時(shí)△ADE的面積為s，求s與t的函數(shù)解析式；
（3）在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中是否存在某一時(shí)刻t，使CD⊥DE？若存在，求出時(shí)刻t；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：設(shè)D點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t，則AD=t，BD=4-t，BE=2t，CE=5-2t（0≤t≤

5

2

），
（1）分類：當(dāng)∠BDE=∠BAC，即ED⊥AB時(shí)，Rt△BDE∽R(shí)t△BAC；當(dāng)∠BDE=∠BAC，即DE⊥AB時(shí)，Rt△BDE∽R(shí)t△BCA，然后分別根據(jù)三角形相似的性質(zhì)得到比例線段求出t的值；
（2）過(guò)E作EF⊥AB于F，易證Rt△BEF∽R(shí)t△BAC，根據(jù)三角形相似的性質(zhì)得到比例線段用t表示EF，BF，然后根據(jù)三角形的面積公式求解即可；
（3）先計(jì)算出DF=AB-AD-BF，若CD⊥DE，則易證得Rt△ACD∽R(shí)t△FDE，然后根據(jù)三角形相似的性質(zhì)得到比例線段求出t．

解答：解：設(shè)D點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t，則AD=t，BD=4-t，BE=2t，CE=5-2t（0≤t≤

5

2

），
（1）當(dāng)∠BDE=∠BAC，即ED⊥AB時(shí)，Rt△BDE∽R(shí)t△BAC，
∴BD：BA=BE：BC，即（4-t）：4=2t：5，
∴t=

20

13

；
當(dāng)∠BDE=∠BAC，即DE⊥AB時(shí)，Rt△BDE∽R(shí)t△BCA，
∴BD：BC=BE：BA，即（4-t）：5=2t：4，
∴t=

8

7

；
所以當(dāng)動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)

20

13

秒或

8

7

秒時(shí)，△BDE與△ABC相似；

（2）過(guò)E作EF⊥AB于F，如圖，
易證Rt△BEF∽R(shí)t△BAC，
∴EF：AC=BF：AB=BE：BC，即EF：3=BF：4=2t：5，
∴EF=

6t

5

，BF=

8t

5

，
∴S=

1

2

AD•EF=

1

2

•t•

6t

5

=

3

5

t²（0≤t≤

5

2

）；

（3）存在．
DF=AB-AD-BF=4-t-

8t

5

=4-

13

5

t，
若CD⊥DE，
易證得Rt△ACD∽R(shí)t△FDE，
∴AC：DF=AD：EF，即3：（4-

13

5

t）=t：

6t

5

，
∴t=

2

13

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了三角形相似的判定與性質(zhì)：兩組角對(duì)應(yīng)相等的兩三角形相似；相似三角形的對(duì)應(yīng)邊的比相等．也考查了勾股定理以及分類討論思想的運(yùn)用．