Question

已知邊長(zhǎng)為10的菱形ABCD，對(duì)角線BD=16，過線段BD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)P（不與B、D重合）分別向AB、AD作垂線段，垂足分別為E、F．

（1）如圖1，求證：△PBE∽△PDE；
（2）連接PC，當(dāng)PE+PF+PC取最小值時(shí)，求線段BP的長(zhǎng)；
（3）如圖2，對(duì)角線BD、AC交于點(diǎn)O，作以PO為半徑（PO＞0）的⊙P，試求
①⊙P與線段BC有一個(gè)公共點(diǎn)，線段BP長(zhǎng)度的取值范圍；
②⊙P與線段BC有兩個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，線段BP長(zhǎng)度的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)菱形性質(zhì)得出∠ABD=∠ADB，根據(jù)相似三角形的判定推出即可；
（2）連接AC交BD于O，延長(zhǎng)FP交BC于M，求出FM長(zhǎng)，得出CP取最小值時(shí)PE+PF+CP的值最小，得出P和O重合，求出即可；
（3））①過P作PG⊥BC于G，設(shè)PB=x，當(dāng)P在線段BO上時(shí)，PO=8-x，PG=

3

5

x，當(dāng)OP=PB時(shí)，⊙P經(jīng)過P點(diǎn)，8-x=x，求出x的值，即可得出答案；②根據(jù)①的結(jié)果即可得出答案．

解答：解：（1）∵四邊形ABCD是菱形，
∴∠ABD=∠ADB，
∵PE⊥AB，PF⊥AD，
∴∠BEP=∠DFP=90°，
∴△PBE∽△PDF；

（2）如圖1，連接AC交BD于O，延長(zhǎng)FP交BC于M，
則FM⊥BC，
∵菱形ABCD，
∴∠ABD=∠CBD，
∵PM⊥BC，PE⊥AB，
∴PE=PM，
∴PE+PF=PM+PF=FM，
在直角三角形AOB中，BO=

1

2

BD=8，
∴AO=

AB2-BO2

=

102-82

=6，
∴AC=2AO=12，
∵S_菱形ABCD=

1

2

AC•BD=BC•FM，
∴FM=

48

5

，
因此，要使PE+PF+PC取最小值，只要PC取最小值，
所以當(dāng)CP⊥BD時(shí)，即P和O重合時(shí)，PC最小，此時(shí)BP=BO=

1

2

BD=8．

（3）①過P作PG⊥BC于G，設(shè)PB=x，當(dāng)P在線段BO上時(shí)，PO=8-x，PG=

3

5

x，
如圖2、當(dāng)PO=PG時(shí)，⊙P與直線BC相切，8-x=

3

5

x，x=5；
如圖3、當(dāng)OP=PB時(shí)，⊙P經(jīng)過B點(diǎn)，8-x=x，x=4，
即當(dāng)0＜x≤4或x=5時(shí)，⊙P與線段BC有一個(gè)公共點(diǎn)，
∴⊙P與線段BC有一個(gè)公共點(diǎn)，線段BP長(zhǎng)度的取值范圍是0＜BP≤4或BP=5時(shí)；
②由①知：當(dāng)4＜x＜5時(shí)，⊙P與線段BC有兩個(gè)公共點(diǎn)，
當(dāng)P在線段OD上時(shí)，PO=x-8，PG=

3

5

x，
當(dāng)PO=PG時(shí)，⊙P與直線BC相切，x-8=

3

5

x，
x=20＞BD，
即此時(shí)⊙P不可能與直線BC相切，更不可能相交，
綜合所述，4＜BP＜5時(shí)，⊙P與直線BC有兩個(gè)公共點(diǎn)，
即⊙P與線段BC有兩個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，線段BP長(zhǎng)度的取值范圍是4＜BP＜5．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了切線的判定，直線與圓的位置關(guān)系，解一元一次方程等知識(shí)點(diǎn)的應(yīng)用，主要考查學(xué)生綜合運(yùn)用性質(zhì)進(jìn)行推理和計(jì)算的能力，注意：要進(jìn)行分類討論�。�