Question

【題目】如圖，拋物線(xiàn)（a≠0）經(jīng)過(guò)A（-1，0），B（2，0）兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C．

（1）求拋物線(xiàn)的解析式及頂點(diǎn)D的坐標(biāo)；

（2）點(diǎn)P在拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸上，當(dāng)△ACP的周長(zhǎng)最小時(shí)，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；

（3） 點(diǎn)N在拋物線(xiàn)上，點(diǎn)M在拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸上，是否存在以點(diǎn)N為直角頂點(diǎn)的Rt△DNM與Rt△BOC相似，若存在，請(qǐng)求出所有符合條件的點(diǎn)N的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1），D（，）；（2）P（，）；（3）存在．N（，）或（，）或（，）或（，）．

【解析】

試題分析：（1）利用待定系數(shù)法求出拋物線(xiàn)解析式；

（2）確定出當(dāng)△ACP的周長(zhǎng)最小時(shí)，點(diǎn)P就是BC和對(duì)稱(chēng)軸的交點(diǎn)，利用兩點(diǎn)間的距離公式計(jì)算即可；

（3）作出輔助線(xiàn)，利用tan∠MDN=2或，建立關(guān)于點(diǎn)N的橫坐標(biāo)的方程，求出即可．

試題解析：（1）由于拋物線(xiàn) （a≠0）經(jīng)過(guò)A（-1，0），B（2，0）兩點(diǎn)，因此把A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入 （a≠0），可得：；解方程組可得：，故拋物線(xiàn)的解析式為：，∵=，所以D的坐標(biāo)為（，）．

（2）如圖1，設(shè)P（，k），∵，∴C（0，－1），∵A（-1，0），B（2，0），∴A、B兩點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱(chēng)軸對(duì)稱(chēng)，連接CB交對(duì)稱(chēng)軸于點(diǎn)P，則△ACP的周長(zhǎng)最小．設(shè)直線(xiàn)BC為y=kx+b，則：，解得：，∴直線(xiàn)BC為：．當(dāng)x=時(shí)，=，∴P（，）；

（3）存在．如圖2，過(guò)點(diǎn)作NF⊥DM，∵B（2，0），C（0，﹣1），∴OB=2，OC=1，∴tan∠OBC=，tan∠OCB==2，設(shè)點(diǎn)N（m，），∴FN=|m﹣|，F(xiàn)D=||=||，∵Rt△DNM與Rt△BOC相似，∴∠MDN=∠OBC，或∠MDN=∠OCB；

①當(dāng)∠MDN=∠OBC時(shí)，∴tan∠MDN==，∴，∴m=（舍）或m=或m=，∴N（，）或（，）；

②當(dāng)∠MDN=∠OCB時(shí)，∴tan∠MDN==2，∴，∴m=（舍）或m=或m=，∴N（，）或（，）；

∴符合條件的點(diǎn)N的坐標(biāo)（，）或（，）或（，）或（，）．