Question

已知：如圖，直徑為OA的⊙M與x軸交于點O、A，點B、C把弧 CA分為三等份，連接MC并延長交y軸于點D（0，3）

（1）求證：△OMD≌△BAO；
（2）若直線把⊙M的周長和△OMD面積均分為相等的兩部份，求該直線的解析式.

Answer 1

（1）證明見解析；（2）.

試題分析：（1）連接BM，根據三等份，求出∠1、∠5、∠3、∠2的度數，推出∠1=∠3，根據直徑求出∠OBA=∠DOM=90°，根據AAS求出全等即可；
（2）根據面積二等份，推出直線過M和（0，）點，求出OM，得出M的坐標，代入解析式求出即可．
試題解析：（1）連接BM，
∵B、C把弧OA三等分，∴∠1=∠5=60°.
∵OM=BM，∴∠2=∠5=30°.
∵OA為圓M的直徑，∴∠ABO="90°." ∴AB=OA=OM，∠3="60°." ∴∠1=∠3，∠DOM=∠ABO=90°.
在△OMD和△BAO中，，
∴△OMD≌△BAO．

（2）若直線把圓M的面積分為二等份，則直線必過圓心M.
∵D（0，3），∠1=60°，OD=3， tan60°=，∴，即.
∴M（，0）.
把M（，0）代入y=kx+b，得，
又直線平分面積，必過點（0，）代入得：，
二者聯立解得：.
∴直線為.