Question

在平面直角坐標系中，二次函數(shù)的圖象與x軸交于A（－3，0），B（1，0）兩點，與y軸交于點C．

（1）求這個二次函數(shù)的關(guān)系解析式；

（2）點P是直線AC上方的拋物線上一動點，是否存在點P，使△ACP的面積最大？若存在，求出點P的坐標；若不存在，說明理由；

考生注意：下面的（3）、（4）、（5）題為三選一的選做題，即只能選做其中一個題目，多答時只按作答的首題評分，切記��！

（3）在平面直角坐標系中，是否存在點Q，使△BCQ是以BC為腰的等腰直角三角形？若存在，直接寫出點Q的坐標；若不存在，說明理由；

（4）點Q是直線AC上方的拋物線上一動點，過點Q作QE垂直于x軸，垂足為E．是否存在點Q，使以點B、Q、E為頂點的三角形與△AOC相似？若存在，直接寫出點Q的坐標；若不存在，說明理由；

（5）點M為拋物線上一動點，在x軸上是否存在點Q，使以A、C、M、Q為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，直接寫出點Q的坐標；若不存在，說明理由．

 

Answer 1

【答案】

（1）（2）存在點，使△ACP的面積最大（3）存在。點（4）存在。點。（5）點

【解析】解：（1）由拋物線過A（－3，0），B（1，0），則

，解得 。

∴二次函數(shù)的關(guān)系解析式為。

（2）設(shè)點P坐標為（m，n），則。

連接PO，作PM⊥x軸于M，PN⊥y軸于N。

PM =， ，AO=3。

當時，，所以O(shè)C=2。

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∵＜0，∴函數(shù)有最大值，當時，有最大值。

  此時。

∴存在點，使△ACP的面積最大。                   

（3）存在。點。

（4）存在。點。

（5）點。

（1）將點A、B的坐標代入即可求得a、b，從而得到二次函數(shù)的關(guān)系解析式。

（2）設(shè)點P坐標為（m，n），則。連接PO，作PM⊥x軸于M，PN⊥y軸于N，根據(jù)求出S關(guān)于m的二次函數(shù)，根據(jù)二次函數(shù)最值求法即可求解。

（3）分BQ為斜邊和CQ為斜邊兩種情況討論即可。

（4）分△BQE∽△AOC，△EBQ∽△AOC，△QEB∽△AOC三種情況討論即可。

（5）分AC是邊和對角線兩種情況討論即可。