Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，△ABC的頂點(diǎn)A在原點(diǎn)，邊AC在x軸的正半軸，AC=16，∠BAC=60°，AB=10，⊙P分別與邊AB、AC相切于D、E（切點(diǎn)D、E不在邊AB、AC的端點(diǎn)），ED的延長線與CB的延長線相交于點(diǎn)F．
（1）求BC邊的長和△ABC的面積；
（2）設(shè)AE=x，DF=y，寫出y與x的函數(shù)解析式，并寫出自變量x的取值范圍；
（3）探索△ADC與△DBF能否相似？若能相似，請求出x的值，同時(shí)判斷此時(shí)⊙P與邊BC的位置關(guān)系，并證明之；若不能相似，請說明理由；
（4）當(dāng)⊙P與△ABC內(nèi)切時(shí)，⊙P與邊BC相切于G點(diǎn)，請寫出切點(diǎn)D、E、G的坐標(biāo)（不必寫出計(jì)算過程）．

Answer 1

解：（1）過B作BG⊥x軸，垂足為G，
在Rt△ABG中∠BAC=60°，AB=10，得到AG=5，
由勾股定理可得BG=5，由于AC=16，可得GC=11，在Rt△BGC中由勾股定理可得BC=14，
（或B（5，）、C（16，0）由距離公式得BC=14）
∴S_△ABC=AC•BG=40

（2）在△ABC中，∵⊙P分別與邊AB、AC相切于D、E，∴AE=AD，
又∠BAC=60°，可設(shè)AE=AD=DE=x，DB=10-x，CE=16-x
過E作EH∥AB交BC于H，在△ABC中，∵EH∥AB
∴即，得EH=
在△FEH中，∵EH∥DB∴
整理得y=-x+（0＜x＜10）

（3）假如△ADC與△DBF相似，∵∠DBF＞∠DCA，又∠DAC=∠BDF=60°
∴只能∠DBF與∠ADC，∠BFD與∠ACD是對應(yīng)角
∴，=，解得x₁=10（舍去），x₂=6
當(dāng)x=6時(shí)，⊙P與邊BC相切．
證明：當(dāng)x=6時(shí)，求得⊙P的半徑r=，
過P作PQ⊥BC，垂足為Q，連接PA、PB、PC，有S_△ABC=S_△PAB+S_△PAC+S_△PBC
即，解得，PQ==r
∴⊙P與邊BC相切．

（4）D（3，3），E（6，0），G（，）．
分析：（1）過B作BG⊥x軸，垂足為G，解Rt△ABG，得BG，AG，再求CG，在Rt△CBG中，運(yùn)用勾股定理求BC；
（2）由∠BAC=60°，AD，AE為圓的切線可知，△ADE為等邊三角形，可設(shè)AE=AD=DE=x，DB=10-x，CE=16-x，過E作EH∥AB交BC于H，在△ABC中，由EH∥AB，利用相似比求EH，在△FEH中，由EH∥DB，利用相似比求x、y的關(guān)系；
（3）過P作PQ⊥BC，垂足為Q，連接PA、PB、PC，先假如△ADC與△DBF相似，利用相似比求x的值，再求圓的半徑；
（4）當(dāng)⊙P與△ABC內(nèi)切時(shí)，連接AP，由內(nèi)切圓半徑r=求r，在Rt△APE中，解直角三角形求AE，由△ADE為等邊三角形，可求D點(diǎn)坐標(biāo)，由CG=CE，利用相似比求G點(diǎn)坐標(biāo)．
點(diǎn)評：本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理及切線的性質(zhì)的運(yùn)用．關(guān)鍵是根據(jù)圖形作平行線，構(gòu)造相似三角形求解．