Question

（2013•齊齊哈爾）已知等腰三角形ABC中，∠ACB=90°，點E在AC邊的延長線上，且∠DEC=45°，點M、N分別是DE、AE的中點，連接MN交直線BE于點F．當點D在CB邊的延長線上時，如圖1所示，易證MF+FN=

1

2

BE

（1）當點D在CB邊上時，如圖2所示，上述結論是否成立？若成立，請給與證明；若不成立，請寫出你的猜想，并說明理由．
（2）當點D在BC邊的延長線上時，如圖3所示，請直接寫出你的結論．（不需要證明）

Answer 1

分析：（1）首先對結論作出否定，寫出猜想FN-MF=

1

2

BE，連接AD，根據(jù)M、N分別是DE、AE的中點，可得MN=

1

2

AD，再根據(jù)題干條件證明△ACD≌△BCE，得出AD=BE，結合MN=FN-MF，于是證明出猜想．
（2）連接AD，根據(jù)M、N分別是DE、AE的中點，可得MN=

1

2

AD，再根據(jù)題干條件證明△ACD≌△BCE，得出AD=BE，結合MN=FM-FN，得到結論MF-FN=

1

2

BE．

解答：（1）答：不成立，
猜想：FN-MF=

1

2

BE，
理由如下：
證明：如圖2，連接AD，
∵M、N分別是DE、AE的中點，
∴MN=

1

2

AD，
又∵在△ACD與△BCE中，

AC=BC ∠ACB=∠BCE DC=CE

，
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴AD=BE，
∵MN=FN-MF，
∴FN-MF=

1

2

BE；

（2）圖3結論：MF-FN=

1

2

BE，
證明：如圖3，連接AD，
∵M、N分別是DE、AE的中點，
∴MN=

1

2

AD，
∵在△ACD與△BCE中，

AC=BC ∠ACD=∠BCE CD=CE

，
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴AD=BE，
∴MN=

1

2

BE，
∵MN=FM-FN，
∴MF-FN=

1

2

BE．

點評：本題主要考查全等三角形的判定與性質的知識點，解答本題的關鍵是會用類比的方法去解決問題，本題難度不是很大，答題的時候需要一定的耐心．