Question

（2013•宜興市二模）設(shè)直線y=-0.5x+1與x軸、y軸分別交于點(diǎn)B、A，點(diǎn)C與點(diǎn)B關(guān)于y軸對(duì)稱，以AC為直角邊在第二象限作等腰Rt△ACD，過點(diǎn)D作DE⊥x軸于點(diǎn)E．若直線y=kx-2k將四邊形OADE分為面積相等的兩部分，則k=

-

3

14

或-

2

5

．

Answer 1

分析：先確定A點(diǎn)坐標(biāo)為（0，1），B點(diǎn)坐標(biāo)為（2，0），點(diǎn)C的坐標(biāo)為（-2，0），討論：當(dāng)AC為直角邊，且∠DCA=90°時(shí)，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得CD=CA，∠DCA=90°，
，利用“AAS”可證明△ECD≌△OAC，則DE=OC=2，EC=OA=1，所以D點(diǎn)坐標(biāo)（-3，2），然后確定OA的中點(diǎn)M的坐標(biāo)，DE的中點(diǎn)N的坐標(biāo)，MN的中點(diǎn)P的坐標(biāo)，再P點(diǎn)坐標(biāo)代入y=kx-2k得求出k的值；當(dāng)AC為直角邊，且∠CAD=90°時(shí)，如圖2，作DF⊥y軸于F，同樣的方法可確定D點(diǎn)坐標(biāo)（-1，3），然后利用上述方法求對(duì)應(yīng)k的值．

解答：解：把x=0代入y=-0.5x+1得y=1，把y=0代入y=-0.5x+1得-0.5x+1=0，解得x=2，則A點(diǎn)坐標(biāo)為（0，1），B點(diǎn)坐標(biāo)為（2，0）
∵點(diǎn)C與點(diǎn)B關(guān)于y軸對(duì)稱，
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（-2，0），
當(dāng)AC為直角邊，且∠DCA=90°時(shí)，如圖1，
M為OA的中點(diǎn)，N為DE的中點(diǎn)，P為MN的中點(diǎn)，則M（0，

1

2

）
∵△ACD為等腰直角三角形，
∴CD=CA，∠DCA=90°，
∴∠ECD+∠ACO=90°，
∵DE⊥x軸于點(diǎn)E，
∴∠ECD+∠EDC=90°，
∴∠EDC=∠ACO，
∵在△ECD和△OAC中

∠EDC=∠ACO ∠DEC=∠COA CD=CA

，
∴△ECD≌△OAC（AAS），
∴DE=OC=2，EC=OA=1，
∴OE=1+2=3，
∴D點(diǎn)坐標(biāo)（-3，2），
∴N點(diǎn)坐標(biāo)（-3，1），
∴P點(diǎn)坐標(biāo)為（-

3

2

，

3

4

），
把P（-

3

2

，

3

4

）代入y=kx-2k得-

3

2

k-2k=

3

4

，解得k=-

3

14

；
當(dāng)AC為直角邊，且∠CAD=90°時(shí)，如圖2，作DF⊥y軸于F，同理可證得△FAD≌△OCA，
∴DF=OA=1，AF=OC=2，
∴OF=3，
∴D點(diǎn)坐標(biāo)（-1，3），
∴N點(diǎn)坐標(biāo)（-1，

3

2

），
∴P點(diǎn)坐標(biāo)為（-

1

2

，

1

2

），
把P（-

1

2

，

1

2

）代入y=kx-2k得-

1

2

k-2k=

1

2

，解得k=-

2

5

；
∴k的值為-

3

14

或-

2

5

．
故答案為-

3

14

或-

2

5

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了一次函數(shù)的綜合題：一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)滿足其解析式，會(huì)確定一次函數(shù)與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)；同時(shí)運(yùn)用三角形全等的知識(shí)解決線段相等的問題；理解直角梯形的重心的意義．