Question

已知：拋物線y=kx²+（k+1）x+

k

4

．
（1）求k=4時，與x軸的交點；
（2）命題“拋物線y=kx²+（k+1）x+

k

4

=0與x軸一定有兩個交點”是否正確？正確的話，請證明；不正確的話，請舉一個反例；
（3）直線y=x與拋物線的有幾個交點？并加以說明．

Answer 1

分析：（1）把k=4代入拋物線y=kx²+（k+1）x+

k

4

，然后令y=0，再解方程求出與x軸的交點；
（2）令y=0，得到方程kx²+（k+1）x+

k

4

=0，根據方程根的判別式與0的關系來證明；
（3）把y=x與拋物線y=kx²+（k+1）x+

k

4

聯立方程，然后再根據方程的判別式來判斷兩函數交點的個數．

解答：解：（1）當k=4時，有
y=4x²+5+1，
令y=0，得4x²+5+1=0，
解得x=-1或-

1

4

；

（2）令y=0得方程，
kx²+（k+1）x+

k

4

=0
△=（k+1）²-4k×

k

4

=2k+1，
當k=-

1

2

時，△=0，方程只有一根，
拋物線y=kx²+（k+1）x+

k

4

=0與x軸只有一個交點；
∴這句話錯誤；

（3）已知直線y=x和拋物線y=kx²+（k+1）x+

k

4

，
∴kx²+（k+1）x+

k

4

=x，
得到方程kx²+kx+

k

4

=0，
△=k²-4×k×

k

4

=0，
∴直線y=x與拋物線的有1交點．

點評：此題主要考查一元二次方程與函數的關系，函數與x軸的交點的橫坐標就是方程的根，若方程無根說明函數與x軸無交點，其圖象在x軸上方或下方，兩者互相轉化，要充分運用這一點來解題．