Question

已知：如圖，點B在y軸的負半軸上，點A在x軸的正半軸上，且OA=2，∠OAB=2。

（1）求點B的坐標；
（2）求直線AB的解析式；
（3）若點C的坐標為（-2,0），在直線AB上是否存在一點P，使ΔAPC與ΔAOB相似，若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由。

Answer 1

（1）B(0,-4)（2）直線AB的解析式為y=2x-4（3）存在點P₁(-2,-8)， P₂(,-)，使ΔAPC與ΔAOB相似。

試題分析：解：（1）在Rt△ABC中，
∠OAB=
∵OA=2，∠OAB=2
∴OB=4
∵點B在y軸的負半軸上
∴B(0,-4)
(2) ∵OA=2     ∴A(2,0)
設直線AB的解析式為y=kx+b(k≠0)
則∴
∴直線AB的解析式為y=2x-4
（3）過C作P₁C∥OB交AB于P₁

這時ΔAPC與ΔAOB相似
當x=-2時，y=-8
∴P₁(-2,-8)
過C作P₂CAB交AB于P₂,過P₂作P₁DAC于D
由ΔAOB∽ΔACP₂,求出AP₂=
由ΔAOB∽ΔADP₂,求出AD=∴OD=,
當x=時，y=-
∴P₁(,-)
存在點P₁(-2,-8)， P₂(,-)，使ΔAPC與ΔAOB相似
點評：本題難度較大。主要考查學生對坐標軸，解析式，三角函數值，證相似三角形等知識點的結合運用。一次函數直線解析式一般式為。求直線解析式時需要具備2個已知點坐標，為解題關鍵。題（3）中求證點P是否存在使兩三角形相似。通過證相似三角形的判定定理我們可知必然需要得到兩三角形對應角相等或者對應邊比值相等的條件才能證相似。那么假設存在該點P使形成的三角形與已知的直角三角形相似，通過做輔助垂線，構成兩組對應角相等是解題關鍵，然后得到兩個P點，并通過點P在直線AB上，用直線AB解析式求出點P坐標。