Question

平面直角坐標系中的梯形AOBC各頂點的坐標是A（0，4）、B（6，0）、C（4，4），過O、B、C三點的拋物線交AC于D，點P從O點出發(fā)，以每秒3個單位長度的速度向B運動，點Q同時從C出發(fā)，以每秒1個單位長度的速度向D運動．過Q作QM⊥AC交BD于M，連接PM．設運動時間為t秒（0≤t≤2）
（1）求直線BC的解析式；
（2）求D點的坐標；
（3）以P、Q、M為頂點的圖形的面積為S，求S關于t的函數(shù)關系式；
（4）當t為何值時，△PBM是直角三角形？直接寫出t的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）已知了B、C的坐標，利用待定系數(shù)法求解即可．
（2）由于拋物線同時經(jīng)過O、B兩點，可據(jù)此確定拋物線的對稱軸，由于CD∥x軸，那么C、D也關于拋物線的對稱軸對稱，即可得到D點的坐標．
（3）首先要求出C、M、P在同一天直線上，即CP⊥x軸時t的值，求得t=1，那么可分兩種情況考慮：
①P在直線QM左側時（即0≤t＜1），延長QM交x軸于N，可用t表示出CQ、ON、OP的長，即可得到PN、DQ的長，易知∠OBD=∠BDC=45°，可據(jù)此求出QM的長，以QM為底、PN為高即可得到△PQM的面積表達式，從而得到關于S、t的函數(shù)關系式；
②P在直線QM右側時（即1＜t＜2），方法同①．
（4）顯然∠PBM＜90°，因此分兩種情況考慮：
①∠MPB=90°，此時MP⊥OB，在（3）中已經(jīng)求得此時t=1；
②∠PMB=90°，在等腰直角三角形DQM中，可用t表示出DM的長，BD的長易求得，即可得到BM的長，在等腰Rt△BPM中，BP=BM，可據(jù)此列出關于t的方程求得t的值．
解答：解：（1）設直線BC的解析式為：y=kx+b，則有：
，
解得；
∴y=-2x+12．

（2）∵拋物線同時經(jīng)過O（0，0），B（6，0），
∴拋物線的對稱軸為：x=3；
而CD∥x軸，且C、D都在拋物線的圖象上，
所以C、D關于拋物線的對稱軸對稱，
即D（2，4）．

（3）如圖，延長QM交x軸于N；
由題意知：CQ=t，DQ=2-t，OP=3t，ON=4-t；
當Q、M、P同線，即QP⊥x軸時，P、N重合；
此時OP+CQ=AC，即：
3t+t=4，
解得t=1；
①當P在N點左側時，0≤t＜1；
PN=ON-OP=4-t-3t=4-4t，
故S=QM•PN=（2-t）（4-4t）=2t²-6t+4；
②當P在N點右側時，1＜t＜2；
PN=OP-ON=3t-（4-t）=4t-4；
故S=QM•PN=（2-t）（4t-4）=-2t²+6t-4；
綜上可知，S、t的函數(shù)關系式為：
S=2t²-6t+4（0≤t＜1）；
S=-2t²+6t-4（1＜t＜2）．

（4）易得∠OBD=∠BDC=45°，則BD=4，DM=（2-t）；
由于∠PBM＜90°，
因此分兩種情況討論：
①∠BPM=90°，即QP⊥OB，在（3）中已求得此時t=1；
②∠BMP=90°；
Rt△BPM中，∠PBM=45°，BP=6-3t，BM=4-（2-t）=2+t；
故BP=BM，即6-3t=（2+t），
解得t=0.4．
綜上可知，當t=1或0.4時，△PMB是直角三角形．
點評：此題考查了矩形的性質、拋物線的性質、圖形面積的求法、直角三角形的判定等知識，同時考查了分類討論的數(shù)學思想，難度較大．