Question

如圖，已知△ABO的頂點A和AB邊的中點C都在雙曲線y=（x＞0）的一個分支上，點B在x軸上，CD⊥OB于D，若△AOC的面積為3，則k的值為

1. A.
   2
2. B.
   3
3. C.
   4
4. D.
   

Answer 1

C
分析：過點A作AM⊥OB于M，設(shè)點A坐標為（x，y），根據(jù)過雙曲線上任意一點與原點所連的線段、坐標軸、向坐標軸作垂線所圍成的直角三角形面積S是個定值，即S=|k|．可求出S_△AMO和S_△AMB，進而求出S_△AOB，又因為C為AB中點，所以△AOC的面積為△AOB面積的一半，問題得解．
解答：解：過點A作AM⊥OB于M，設(shè)點A坐標為（x，y），
∵頂點A在雙曲線y=（x＞0）圖象上，
∴xy=k，
∴S_△AMO=OM•AM=xy=k，
設(shè)B的坐標為（a，0），
∵中點C在雙曲線y=（x＞0）圖象上，CD⊥OB于D，
∴點C坐標為（ ，），
∴S_△CDO=OD•CD=••=k，
∴ay=3k，
∵S_△AOB=S_△AOM+S_△AMB
=k+•（a-x）y
=k+ay-xy=k+×3k-k，
=k，
又∵C為AB中點，
∴△AOC的面積為 ×k=3，
∴k=4，
故選C．
點評：此題主要考查了反比例函數(shù) 中k的幾何意義，即過雙曲線上任意一點引x軸、y軸垂線，所得三角形面積為 |k|，是經(jīng)�？疾榈囊粋�知識點；這里體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想，做此類題一定要正確理解k的幾何意義．