Question

（2013•長春）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=ax²+bx-2 與x軸交于點(diǎn)A（-1，0）、B（4，0）．點(diǎn)M、N在x軸上，點(diǎn)N在點(diǎn)M右側(cè)，MN=2．以MN為直角邊向上作等腰直角三角形CMN，∠CMN=90°．設(shè)點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為m．
（1）求這條拋物線所對(duì)應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式．
（2）求點(diǎn)C在這條拋物線上時(shí)m的值．
（3）將線段CN繞點(diǎn)N逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后，得到對(duì)應(yīng)線段DN．
①當(dāng)點(diǎn)D在這條拋物線的對(duì)稱軸上時(shí)，求點(diǎn)D的坐標(biāo)．
②以DN為直角邊作等腰直角三角形DNE，當(dāng)點(diǎn)E在這條拋物線的對(duì)稱軸上時(shí)，直接寫出所有符合條件的m值．
（參考公式：拋物線y=ax²+bx+c（a≠0）的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（-

b

2a

，

4ac-b2

4a

））

Answer 1

分析：（1）將A（-1，0）、B（4，0）兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入y=ax²+bx-2，運(yùn)用待定系數(shù)法即可求出拋物線的解析式；
（2）先根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)求出點(diǎn)C的坐標(biāo)為（m，2），再將C的坐標(biāo)代入y=

1

2

x²-

3

2

x-2，即可求出m的值；
（3）①先由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出點(diǎn)D的坐標(biāo)為（m，-2），再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求出拋物線y=

1

2

x²-

3

2

x-2的對(duì)稱軸為直線x=

3

2

，然后根據(jù)點(diǎn)D在直線x=

3

2

上，即可求出點(diǎn)D的坐標(biāo)；
②以DN為直角邊作等腰直角三角形DNE時(shí)，分別以D、N為直角頂點(diǎn)，在DN的兩側(cè)分別作出等腰直角三角形DNE，E點(diǎn)的位置分四種情況討論．針對(duì)每一種情況，都可以先根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)求出點(diǎn)E的坐標(biāo)，然后根據(jù)點(diǎn)E在直線x=

3

2

上，列出關(guān)于m的方程，解方程即可求出m的值．

解答：解：（1）∵拋物線經(jīng)過點(diǎn)A（-1，0）、B（4，0），
∴

a-b-2=0 16a+4b-2=0.

解得

a= 1 2 b=- 3 2 .

∴拋物線所對(duì)應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式為y=

1

2

x²-

3

2

x-2；

（2）∵△CMN是等腰直角三角形CMN，∠CMN=90°，
∴CM=MN=2，
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（m，2），
∵點(diǎn)C（m，2）在拋物線上，
∴

1

2

m²-

3

2

m-2=2，
解得m₁=

3+ 41

2

，m₂=

3- 41

2

．
∴點(diǎn)C在這條拋物線上時(shí)，m的值為

3+ 41

2

或

3- 41

2

；

（3）①∵將線段CN繞點(diǎn)N逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后，得到對(duì)應(yīng)線段DN，
∴∠CND=90°，DN=CN=

2

CM=

2

MN，
∴CD=

2

CN=2CM=2MN，
∴DM=CM=MN，∠DMN=90°，
∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為（m，-2）．
又∵拋物線y=

1

2

x²-

3

2

x-2的對(duì)稱軸為直線x=

3

2

，點(diǎn)D在這條拋物線的對(duì)稱軸上，
∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為（

3

2

，-2）；

②如圖，以DN為直角邊作等腰直角三角形DNE，E點(diǎn)的位置有四種情況：
如果E點(diǎn)在E₁的位置時(shí)，
∵點(diǎn)D的坐標(biāo)為（m，-2），MN=ME₁=2，點(diǎn)N的坐標(biāo)為（m+2，0），
∴點(diǎn)E₁的（m-2，0），
∵點(diǎn)E₁在拋物線y=

1

2

x²-

3

2

x-2的對(duì)稱軸x=

3

2

上，
∴m-2=

3

2

，解得m=

7

2

；
如果E點(diǎn)在E₂的位置時(shí)，
∵點(diǎn)D的坐標(biāo)為（m，-2），點(diǎn)N的坐標(biāo)為（m+2，0），
∴點(diǎn)E₂的（m+2，-4），
∵點(diǎn)E₂在拋物線y=

1

2

x²-

3

2

x-2的對(duì)稱軸x=

3

2

上，
∴m+2=

3

2

，解得m=-

1

2

；
如果E點(diǎn)在E₃的位置時(shí)，
∵點(diǎn)D的坐標(biāo)為（m，-2），
∴點(diǎn)E₃的（m，2），
∵點(diǎn)E₃在拋物線y=

1

2

x²-

3

2

x-2的對(duì)稱軸x=

3

2

上，
∴m=

3

2

；
如果E點(diǎn)在E₄的位置時(shí)，
∵點(diǎn)D的坐標(biāo)為（m，-2），點(diǎn)N的坐標(biāo)為（m+2，0），
∴點(diǎn)E₄的（m+4，-2），
∵點(diǎn)E₄在拋物線y=

1

2

x²-

3

2

x-2的對(duì)稱軸x=

3

2

上，
∴m+4=

3

2

，解得m=-

5

2

；
綜上可知，當(dāng)點(diǎn)E在這條拋物線的對(duì)稱軸上時(shí)，所有符合條件的m的值為m=-

5

2

或m=-

1

2

或m=

3

2

或m=

7

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題是二次函數(shù)的綜合題型，其中涉及到運(yùn)用待定系數(shù)法求拋物線的解析式，二次函數(shù)的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)等知識(shí)，綜合性較強(qiáng)，難度適中．其中（3）②要注意分析題意分情況討論E點(diǎn)可能的位置，這是解題的關(guān)鍵．